Colisão Frontal

1. Introdução
Força é uma grandeza vetorial que tem módulo, direção e sentido. Outras grandezas físicas como pressão, trabalho, enegia cinética e energia potencial são na verdade a aplicação da força. Por exemplo, a pressão é a aplicação da força em uma área.

1.1. Primeira Lei de Newton ou Princípio da Inércia
Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas nele.
Propriedades:
- Um ponto material isolado possui velocidade vetorial constante.
- Inércia é a propriedade da matéria de resistir a qualquer variação na sua velocidade.
- Um corpo em repouso tende, por inércia, a permanecer em repouso.
- Um corpo em movimento tende, por inércia, a continuar em movimento Retilíneo e Uniforme.

Em (I) o corpo acima possui uma massa igual a m e velocidade v igual a zero. Isso significa que o mesmo está em repouso, sua posição não muda com o tempo. A força peso P é igual a massa vezes a aceleração gravitacional (P = m.g), a força normal N é igual a -P (N = - P ).
Em (II) é aplicado uma força F no corpo durante um certo tempo, com isso o mesmo adquiri uma velocidade vf. Despreza-se o atrito, resistência do ar, etc.
Em (III) o corpo adquiriu uma velocidade vf na mesma direção e sentido da força F, essa velocidade é constante uma vez que não atua mais nenhuma força sobre o corpo.
Repare que F também pode ser considerada como a resultante da atuação de um conjunto de força atuando sobre o corpo em questão.

O Princípio da Inércia indica que a velocidade vetorial de um ponto material, não varia. Se o ponto estiver em repouso, permanece em repouso e, se estiver em movimento, permanece com velocidade constante realizando movimento retilíneo e uniforme. Na prática não é possível obter um ponto material livre da ação de forças. No entanto, se o ponto material estiver sujeito a nenhuma força que atue sobre ele, ele estará em repouso ou descreverá movimento retilíneo e uniforme. A existência de forças, não equilibradas, produz variação da velocidade do ponto material.
A tendência que um corpo possui de permanecer em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, quando livre da ação de forças ou sujeito a forças cuja resultante é nula, é interpretada como uma propriedade que os corpos possuem denominada Inércia.
Inércia cosiste na tendëncia natural que os corpos possuem em manter a velocidade constante.
Quando maior a massa de um corpo maior a sua inércia, isto é, maior é sua tendência de permanecer em repouso ou em movimento retilínio e uniforme.

1.2. Segunda Lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica
A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força.

Força, em física, é qualquer ação ou influência que modifica o estado de repouso ou de movimento de um corpo. A força é um vetor, ou seja, tem módulo, direção e sentido. Quando várias forças atuam sobre um corpo, elas se somam vetorialmente, para dar lugar a uma força total ou resultante. No Sistema Internacional de unidades, a força é medida em newtons.
1kgf é o peso de um corpo de massa 1kg submetido a aceleração da gravidade de 9,8m/s².
1kgf = 1kg.9,8m/s² = 9,8N


No esquema acima despreza-se o atrito, tem-se:
(I) A força peso P é igual a massa vezes a aceleração gravitacional (P = m.g), a força normal N é igual a -P (N = - P ).
(II) É é aplicado uma força FR  no corpo de massa m, FR = m. a , que adquiri em velocidade v  e uma aceleração a .

1.3.  Terceira Lei de Newton ou  Princípio da Ação e Reação
A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e se dirigem a partes contrárias.
Sempre que dois corpos quaisquer A e B interagem, as forças exercidas são mútuas.
Um pessoa (A) exerce sobre uma parede (B) uma força F, a parede exerce sobre a pessoa uma força -F. Como os dois corpos não se afastam, a força de atrito (Fatr1 + Fatr2) resiste a aplicação da força -F. A pessoa (A) empurra o chão (C) para trás e o chão (C) empurra a pessoa (A) para frente.

Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. A interação entre corpos é regida pelo principio da ação e reação, proposto por Isaac Newton.

Quando é aplicado um força em um corpo essa força poder ser usada para vencer a força de atrito e a inércia do outro corpo que passa a movimentar-se, esse corpo pode sofre deformação, tensão ou deslocamento. Pela própria acepção da palavra, força de reação está relacionada com força que se opõe ou resiste a aplicação da força do corpo originário.
Força de Ação e Reação
- Mesma direção
- Mesmo valor absoluto
- Sentidos oposto
- Jamais se anulam porque estão aplicados em corpos diferentes.
- Mesma natureza, ambas são de contato ou são de campo (magnético por exemplo).

2. Colisão Frontal
2.1. Força de Ação e Reação
A colisão frontal ocorre em apenas uma direção, para uma bola de massa ma se deslocando para a direita com força resultante FAB e uma bola de massa mb se deslocando da direita para esquerda com força FBA, no ponto de contato terá a seguinte força resultante em cada bola:


FAB = ma.aa
FBA = mb.ab

FRA = FBA - FAB
FRA = (mb.ab) - (ma.aa)

FRB = FAB - FBA
FRB = (ma.aa) - (mb.ab)


Toda vez que um corpo A exerce uma força Fa em um corpo B, este também exerce em A uma força Fb tal que estas forças:
Têm mesma intensidade
Têm mesma direção
Têm sentidos opostos
Têm a mesma natureza, ambas são de contato ou são de campos.
Forças de contato: são forças que existem quando duas superfícies entram em contato.  Por exemplo: quando empurramos um bloco contra uma parede, há forças de contato entre bloco e a parede.
Forças de campo: são forças que os corpos exercem mutuamente ainda que estejam distantes um do outro.  Por exemplo: a Terra atrai corpos que estão próximos à superfície exercendo neles forças de campo.
As chamadas forças de ação e reação não se equilibram, pois estão aplicadas em corpos diferentes.


Num processo de colisão de 2 partículas muitas coisas podem acontecer:
O processo de colisão pode ocorrer tanto por forças de contato como no jogo de bilhar como por interação à distância via gravitação ou forças elétricas.
A figura abaixo mostra que:
Antes do choque u1 > u2  e
Após o choque v1 < v2
Ou seja, a bola 1 transmitiu energia a bola 2.

Após o choque poder ocorrer o seguinte comportamento:
- Bola 1 e bola dois ficam juntas e deslocando-se para direita, v1 = v2.
- Bola 1 desloca-se no sentido contrários (esquerda) da bola 2.
- Bola 1 continua se deslocando para direita, porém, com velocidade inferior a bola 2, v1 < v2.

2.2. Cálculo das Velocidades
A colisão ou choque fontal ocorre em uma só dimensão, para facilitar a interpretação será representado tal fenômeno no eixo-x. Na figura acima tem-se duas bola, bola 1 e bola 2,  com massas m1, m2 e velocidades constantes u1 e u2, antes do choque. Após o choque a velolcidade resultante será v1 e v2.
Durante o choque ocorre uma força de ação e reação F12 = -F21 entre os duas bolas, tal força tem as mesmas intensidades e sentidos opostos, a força de reação gerará uma correspondente diminuição da velocidade u1 uma vez que u > u2 como tese inicial.
Condições para a colisão: u > u2 e ambas com o mesmo sentido, como a colisão é frontal, ambas terão também a mesma direção.

A força de reação depende das massas e das velocidades das duas bolas. A energia cinética e o momento linear se manteêm constantes antes e após a colisão, ou seja:
Energia Cinética:
ECante = ECapós
m1.u1²/2 + m2.u2²/2 = m1.v1²/2 + m2.v2²/2
- m2.v2²/2 + m2.u2²/2 = m1.v1²/2 - m1.u1²/2
m2(u2² - v2²) = m1(v1² - u1²)
m2/m1 = (v1² - u1²)/(u2² - v2²)  (I)
ou

m2/m1 = (v1 - u1)(v1 + u1)/(u2 - v2)(u2 + v2)

Momento Linear (ou Quantidade de Movimento):
Qantes = Qapós
m1.u1 + m2.u2 = m1.v1 + m2.v2
- m2.v2 + m2.u2 = m1.v1 - m1.u1
m2(u2 - v2) = m1(v1 - u1)
m2/m1 = (v1 - u1)/(u2 - v2) (II)

(I) e (II)
Como a² - b² = (a + b)(a - b), logo:
Fazendo (I) = (II), tem-se:
(v1 - u1)(v1 + u1)/(u2 - v2)(u2 + v2) = (v1 - u1)/(u2 - v2)
(v1 - u1)(v1 + u1)/(v1 - u1) = (u2 - v2)(u2 + v2)/(u2 - v2)
(v1 + u1) = (u2 + v2)
(v1 + u1) = (u2 + v2)  (III)
(u1- u ) = - ( v1- v2)
Numa colisão elástica unidimensional as velocidades relativas antes e depois da colisão se invertem. 

Isolando cada velocidade em (III) tem-se:
v
1  = u2 - u1 + v2 
v2 = v1 - u2 + u1
u2 = v1 - v2 + u1
u1 = u2 - v1 + v2

Cálculo da velocidade u1 em função de  v1 e v2:
Utilizando cada velocidade da fórmula (III) em (II) tem-se:
(II) m2(u2 - v2) = m1(v1 - u1)
(III) Para: u2 = v1 - v2 + u1

Fazendo a substituição de (III) em (II)
m2(v1 - v2 + u1 - v2) = m1(v1 - u1)
m2v1 - m2v2 + m2u1 - m2v2 = m1v1 - m1u1
m2v1 - m1v1 = - m2u1 - m1u1 + 2m2v2
Isolando u1 tem-se:
v1 (m2 - m1) = u1(-m2 - m1)+ 2m2v2
v1 (m2 - m1) = u1(-m2 - m1)+ 2m2v2
u1 = [v1 (m2 - m1) - 2m2v2]/ (-m2 - m1)
u1 = -1.[v1 (m2 - m1) - 2m2v2]/ -1.(-m2 - m1)
u1 = [v1 (m1 - m2 ) + 2m2v2]/ (m1 + m2)

Cálculo da velocidade u2 em função de  v1 e v2:
(II) m2(u2 - v2) = m1(v1 - u1)
(III) Para: u1 = u2 - v1 + v2

Fazendo a substituição de (III) em (II) tem-se:
m2(u2 - v2) = m1(v1 - u2 + v1 - v2)
m2u2 - m2v2 = m1v1 - m1u2 + m1v1 - m1v2
m2u2 + m1u2 = m1v1 + m1v1 - m1v2 + m2v2
u2(m2 + m1) = 2m1v1 + v2(m2 - m1)
Isolando u2 tem-se:
u2 = [v2(m2 - m1) + 2m1v1]/(m1 + m2)

Cálculo da velocidade v1: em função de  u1 e u2:
(II) m2(u2 - v2) = m1(v1 - u1)
(III) Para: v2 = v1 - u2 + u1
Fazendo a substituição de (III) em (II) tem-se:
m2(u2 - v1 + u2 - u1)= m1(v1 - u1)
m2u2 - m2v1 + m2u2 - m2u1 = m1v1 - m1u1
- m1v1 - m2v1  = - m2u2 - m1u1 - m2u2 + m2u1
 v1(- m1 - m2)  =  - 2m2u2 + u1(- m1 + m2)  
 v1 =  [- 2m2u2 + u1(- m1 + m2)]/(- m1 - m2)  
 v1 =  -1.[- 2m2u2 + u1(- m1 + m2)]/-1.(- m1 - m2)
 v1 =  [u1(m1 - m2) + 2m2u2 ]/(m1 + m2)
 
Cálculo da velocidade v2 em função de  u1 e u2:                   
(II) m2(u2 - v2) = m1(v1 - u1)
(III) Para: v1  = u2 - u1 + v2

Fazendo a substituição de (III) em (II) tem-se:
m2(u2 - v2) = m1(u2 - u1 + v2 - u1)
m2u2 - m2v2 = m1u2 - m1u1 + m1v2 - m1u1
- m1v2 - m2v2 = m1u2 - m1u1  - m1u1 - m2u2
v2(- m1 - m2) = u2(m1 - m2) - 2m1u1
v2 = [u2(m1 - m2) - 2m1u1]/(-m1 -m2)
v2 = -1.[u2(m1 - m2) - 2m1u1]/-1.(-m1 -m2)
v2 = [u2(m2 - m1) + 2m1u1]/(m1 + m2)

Resumo:
u1 = [v1 (m1 - m2 ) + 2m2v2]/ (m1 + m2)
u2 = [v2(m2 - m1) + 2m1v1]/(m1 + m2)
v1 =  [u1(m1 - m2) + 2m2u2 ]/(m1 + m2)
v2 = [u2(m2 - m1) + 2m1u1]/(m1 + m2)

2.3. Velocidade Relativa entre Dois Corpos
É a velocidade escalar que um corpo tem em relação ao outro. O outro corpo é uma referência e permanece parado em relação a si mesmo.
O módulo da velocidade relativa é calculado como a diferença entre os dois módulos das velocidades escalares.

Velocidade relativa do corpo 1 em relação ao corpo 2:

Se v1 e v2 tem o mesmo sentido, então:
Antes v1 > v2 (para a hipótese da figura acima).
Velocidade de aproximação = |v1| - |v2| ou v1 - v2
Caso v1 e v2 tivessente sentidos opostos:
Velocidade de aproximação = |v1| + |v2|

Após
v2 > v1
Velocidade de afastamento = |v2| - |v1| ou  v2 - v1

2.4. Momento Linear ou Quantidade de Movimento
Todos nós sabemos que é muito mais difícil parar um caminhão pesado do que um carro que esteja se movendo com a mesma rapidez.
Isso se deve ao fato do caminhão ter mais inércia em movimento, ou seja, quantidade de movimento.
É a grandeza física vetorial relacionada com a massa de um corpo e sua velocidade. A quantidade de movimento, ou momento linear, é dada pela expressão:
Q = m.V
A unidade de quantidade de movimento no Sistema Internacional de Unidades é o kg. m/s.

2.4.1. Conservação do Momento Liner
No choque perfeitamente elástico não há perda de energia em outra forma, como por exemplo na deformação e no atrito. Essa condição é empírica, na realidade sempre ocorre perda de energia, porém, quando essa perda é muito pequena e não enfluência significativamente o resultado, pode-se considerar  a colisão como elástica.
Qantes = Qdepois
m1.v1 + m2.v2 = m1.v1f + m2.v2f

2.5. Energia Cinética (m.v²/2)
Uma colisão entre dois corpos pode ser classificada considerando-se a energia cinética total antes e depois da colisão. Se a energia cinética se conserva, a colisão é chamada totalmente elástica; se parte da energia cinética se transforma em outra forma de energia, a colisão é inelástica. Quando os dois corpos permanecem unidos após a colisão, esta é dita totalmente inelástica.

ECantes = ECdepois
m1.v1²/2 = m2.v2²/2 = m1.v1f²/2 = m2.v2f²/2

2.6. Coeficiente de Restiruição em Função da Velocidade
Pode-se denir o coeficiente de restituição, r, de uma colisão entre dois corpos como  razão entre o módulo das velocidade relativa de aproximação sobre o módulo da velocidade relativa de afastamento:
Definição:
r = |v1f - v2f|/|v1 - v2| 
r = veloc. rel. afastamento/veloc. rel. aproximação
0 ≤ r ≤ 1
O coeciente de restituição pode ser utilizado como um indicativo de quão elástico é o choque entre as duas bolas :
r = 0, choque perfeitamente inelástico.
r = 1, choque perfeitamente elástico.
 
2.7. Impulso
É a grandeza física vetorial relacionada com a força aplicada em um corpo durante um intervalo de tempo. O impulso é dado pela expressão:
I = F.Δt
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade do impulso é o newton vezes segundo N.s.
I: impulso (N.s)
F: força média (N)
Δt: tempo de atuação da força F (s)
O Impulso é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e sentido da força aplicada.

2ª LEI DE NEWTON OU PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA 
A 2ª lei de Newton diz que a Força (resultante) é sempre diretamente proporcional ao produto da aceleração de um corpo pela sua massa, e têm sempre a mesma direção e o mesmo sentido, ou seja:
F = m.a
F = m.  ∆v/∆t
F.∆t = m.  ∆v
∆t: é a duração da força na colisão.
I  . ∆t = Qf   - Qo 
Teorema Impulso – Quantidade de Movimento
O impulso da resultante das forças que atuam sobre um corpo, num determinado intervalo de tempo, é igual à variação da quantidade de movimento do corpo no mesmo intervalo de tempo, matematicamente fica:
I   =  ∆Q
Assim, podemos definir o impulso I  como o produto da força aplicada pelo tempo que dura a interação. A unidade do impulso no Sistema Internacional (SI) é N s, que também pode ser escrita como kg m/s. Podemos ainda interpretar o impulso como a área sobre a curva, conforme ilustrado abaixo.


A figura ilustrada abaixo mostra uma visão microscópica de uma colisão na qual um objeto A colide com um objeto B. Durante o processo de colisão as ligações moleculares, que aqui estamos imaginando ser do tipo mola, são primeiramente comprimidas e, logo a seguir, expandidas. As forças que atuam durante esse processo constituem um par ação/reação de acordo com a 3ª Lei de Newton e possuem módulos iguais. Essa força aumenta muito rápido enquanto as ligações são comprimidas, atingindo um valor máximo quando A fica em repouso, e, logo a seguir, diminuem enquanto as ligações novamente se expandem

Quando a força aplicada não for constante ao longo do tempo, a intensidade do impulso pode ser calculada através da Área do gráfico I(t) = F:
I = F.dt


O tempo de aplicação da força na colisão é muito pequeno, a aceleração pode ser substituída pela velocidade sobre o diferencial de tempo, a fórmula acima pode ser escrita em função da quantidade de movimento.
F = m.a = m. dv/dt =   dQ/dt
m: é uma constante
 v
FdQ/dt
"A força resultante agindo sobre uma partícula é igual à taxa temporal de mudança de momento da partícula".
Esta é a forma original com a qual Newton propôs sua Segunda Lei (ele chamava momento de "quantidade de movimento".)
Esta equação indica que uma mudança rápida no momento requer uma grande força resultante, ao passo que uma mudança gradual requer menos força resultante.

Integrando os dois lados da equação acima:
I  = F dt =   Q

3. Estudo dos Sinas das Velocidades e Acelerações
3.1. Deslocamento Vertical e Horizontal
Pode-se padronizar o sitema de coordenadas e trabalhar com os valores no sistema de coordenadas cartesiano ou senão usar o sistema de coordenadas da tela, o importante é entender o que se está fazendo.
Aceleração significa soma de velocidade, aceleração positiva significa soma de velocidade positiva, aceleração negativa significa soma de velocidade negativa, essa dedução é fácil de interpretar observando a fórmula: v = vo + a.t, vo e a.t tem a mesma grandeza.
Deslocamento horizontal
v = ∆x/∆t
∆x = x - xo
deslocamento para esquerda:
x < xo ⇒ v < 0
se a > 0: v diminui, pára e vai para direita
se a < 0: v  aumenta e continua para esquerda
deslocamento para direita:
x > xo ⇒ v > 0
se a > 0: v aumenta e continua para direita
se a < 0: v diminui, pára e vai para esquerda

Deslocamento vertical
v = ∆y/∆t
∆y = y - yo


deslocamento para cima:
 y < yo ⇒ v < 0
se a > 0: v diminui, pára e vai para baixo
se a < 0: v  aumenta e continua para cima
deslocamento para baixo:
x > xo ⇒ v > 0
se a > 0: v aumenta e continua para baixo
se a < 0: v diminui, pára e vai para cima



Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Velocidade Média
É a taxa média de variação do deslocamento em função da variação de tempo.
Δx = x - xo
Δt = t - to
v = Δx/Δt

v = (vo + v)/2

Substituindo v = vo + at na fórmla anterior, tem-se:
v =  vo +  ½ at

Velocidade Instantânea
É o limite da taxa média de variação do deslocamento em função da variação de tempo que tende a zero. Também pode-se expressar a velocidade instantânea como a derivada do deslocamento em função do tempo.
v = limitΔt→0Δx/Δt
v = dx/dt

Aceleração Média
É a taxa média de variação da velocidade em função da variação de tempo.
a = Δv/Δt
Δv = v - vo
Δt = t - to

Aceleração Instantânea
É o limite da taxa média de variação da velocidade em função da variação de tempo que tende a zero. Também pode-se expressar a aceleração instantânea como a derivada da velocidade em função do tempo.
a = limitΔt→0Δv/Δt
a = dv/dt

Aceleração Constante
Quando a aceleração é constante a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais.
a = Δv/Δt
to = 0 ⇒ vo
a = (v - vo)/(t-0)
v = vo + at

Deslocamento
Com a fórmula da velocidade média e da aceleração chega-se a fórmula do deslocamento.
v = vo + at      (I)

v = Δx/Δt
Δx = x - xo
Δt = t - to
to = 0 ⇒ xo
x = xo + vt  (II)

v = (vo + v)/2    (III)

v = ½ (vo + v) = ½ (vo + vo + at)  (I)  e  (II)
v = (x - xo)/t = vo + ½ at   
x = xo + vot + ½ at²

Equação de Torricelli
v = vo + at  ⇒ t = (v -vo)/a    (I)
x = xo + vot + ½ at²    (II)
x - xo = vot + ½ at²     (II)
Substituindo o tempo em (II) tem-se:
v² = vo² + 2a(x - xo)

Grandezas Envolvidas
Para facilitar a escolha da fórmula a tabela abaixo relaciona a grandeza faltante, são seis as grandezas: v, vo, x, xo, t, a.
Na na primeira coluna da tabela abaixo estão relacionados as fórmulas para o movimento retilíneo uniformemente variado e na segunda coluna estão as grandezas faltantes.
Relação
Grandeza que Falta
v = vo +at x - xo
x = xo + vot + at²/2 v
 v² = vo² + 2a(x - xo) t (equação de torricelli)
x - xo = vt - ½ at²
vo
x - xo = ½ (vo + v)t
a

Exercício Resolvido 1:
A figura abaixo apresenta um esquema para demonstrar a conservação da quantidade de movimento linear entre a colisão da bola 1 com a bola 2. A bola 1, rígida, é suspensa por um fio, de massa desprezível e inextensível, formando um pêndulo de 20 cm de comprimento. Ele pode oscilar, sem atrito, no plano vertical, em torno da extremidade fixa do fio. A bola 1 é solta de um ângulo de 60º( cosθ = 0,50 e senθ ≡  0,87), com a vertical e colide frontalmente com a bola 2, idêntica à bola 1, lançando-a horizontalmente.

Considerando o módulo da aceleração da gravidade igual a 10m / s , que a bola 2 se encontrava em repouso à altura y = 40 cm da base do solo e que a colisão entre as duas bolas é totalmente elástica, calcule a velocidade de lançamento da bola 2 e seu alcance horizontal x.

Resolução:
A energia potencial transforma-se em energia cinética.
h: altura da bola 1
cos60º = h/20 = 0,5 ⇒  h = 10 cm = 0,1 m
½.mv² = mgh ⇒ v = 2gh = 2x10x0,1 = 2 m/s
Como a colisão é elástica entre corpos de mesma massa a bola 1 fica parada e bola 2 adquire a velocidade
V2 = 2 m/s
O movimento vertical é uniformemente variado a partir do repouso (bola 2).
Δy = ½ gt² ⇒ 0,4 = 5t² ⇒ t = 0,08 = 0,22 s
O movimento horizontal é uniforme (bola 2).
Δx = vt ⇒ x = 2 . 0,2.2 = 0,4m

Exercício Resolvido 2:
O esquema a seguir mostra o movimento de dois corpos antes e depois do choque. Considere que o coeficiente de restituição é igual a 0,6.

Calcule a massa do corpo A.

Resolução:
O coeficiente de restituição de uma colisão vale:
e = vaf/vap = 0,6 = (Vb - Va)/(Va - Vb) ⇒ (Vb -12)/(20 -10) ⇒ Vb = 18 m/s

Em toda colisão a quantidade de movimento total se conserva.
QTF = QTI
mA . VA + mB . VB = mA . V→'A + mB . V→'B
m . 20 + 2  . 10 = mA .  12 + 2 . 18 ⇒ m= 2,0 kg

Exercício Resolvido 3:
As figuras mostram as situações inicial e final dos blocos antes e após a colisão, perfeitamente inelástica, e após terem subido a rampa. Calcule a altura y.


Resolução
Em toda colisão, a quantidade de movimento total se conserva. Sendo assim:
QTF = QTI
(mA + mB)v = mA . Vo
10v = 2 . 5 ⇒ v = 1,0 m/s
Após a colisão, no processo de subida da rampa, a energia mecânica se conserva. Sendo assim:
ETF = ETI ⇒ 1/2 M.v² = M.g.y ⇒ y = v²/2g = 1/20 = 5,0 cm

Exercício Resolvido 4:
Dois pêndulos, ambos de comprimento L , estão inicialmente posicionados como na figura a seguir. O pêndulo da esquerda é liberado e atinge o outro. Suponha que a colisão seja perfeitamente inelástica, despreze as massas das cordas e quaisquer efeitos de atrito.

A que altura se eleva o centro de massa do sistema de pêndulos após a colisão?
Em uma colisão completamente inelástica, os corpos adquirem a mesma velocidade final
Considerando a conservação da energia mecânica, o pêndulo da esquerda vai alcançar a posição mais baixa com uma velocidade vo:

Resolução:
m1gd = ½ m1vo² ⇒ vo = 2gd
Após a colisão os pêndulos têm mesma velocidade, e considerando a conserva- ção do momento linear total, teremos:
m1.vo = (m1+ m2)v ⇒ v = m1/(m1 + m2)vo

Após a colisão, os dois pêndulos irão subir simultaneamente até uma altura h. Usando, novamente, a conservação da energia mecânica, teremos:

Ou seja:


4. Código da Colisão Frontal em JavaScript
Após o código há um link para sua execução e na seqüência a explicação sobre o mesmo. Este código é também a base para a colisão bidirecional.

<html>
<head>
<title>Bouncing Balls</title>
<style>
canvas {
    border:1px solid #999;
}
</style>
<script>
var cvs1;
var cvs;
var balls = [
{x:50, y:50, r:20, m:1, vx:-1, vy:0},
{x:500, y:50, r:30, m:2, vx:-1,vy:0},
{x:650, y:50, r:15, m:0.75, vx:-0.5, vy:0}
];

function start() {
cvs1 = document.getElementById("cvs");
cvs = cvs1.getContext("2d");
cvs.strokeStyle = "red";
cvs.lineWidth = 3;
setInterval(draw, 10); // this will run 100 times per second, every 10 milliseconds
}

function draw() {
cvs.clearRect(0, 0, cvs1.width, cvs1.height);
for (var a = 0; a < balls.length; a ++) {
for (var b = 0; b < balls.length; b ++) {
if (a != b) { // make sure both balls being tested are not the same
var distToBalls = Math.abs(balls[a].x - balls[b].x);
if (distToBalls <= balls[a].r + balls[b].r) {
var newVel = getBallCollision(balls[a], balls[b]); // sends colliding balls to function to calculate new velocities 
balls[a].vx = newVel.ball1.vx;
balls[b].vx = newVel.ball2.vx;
balls[a].x += balls[a].vx;
balls[b].x += balls[b].vx;
}
}
}
}
for (var a = 0; a < balls.length; a ++) {
cvs.beginPath();
cvs.arc(balls[a].x, balls[a].y, balls[a].r, 0, Math.PI*2, true);
cvs.fill();
cvs.closePath();
if (balls[a].x <= balls[a].r) balls[a].vx *= -1; // bounce ball off of left boundary
if (balls[a].x >= cvs1.width - balls[a].r) balls[a].vx *= -1; // bounce ball off of right boundary
balls[a].x += balls[a].vx;
}
}
function getBallCollision(b1, b2) {
// let's get started!
var dx = Math.abs(b1.x - b2.x);
if (dx != 0 && dx <= b1.r + b2.r) {

var vx1 = b1.vx;
var vx2 = b2.vx;

var fvx1 = ((b1.m - b2.m) * vx1 + (2 * b2.m) * vx2) / (b1.m + b2.m);
var fvx2 = ((2 * b1.m) * vx1 + (b2.m - b1.m) * vx2) / (b1.m + b2.m);

b1.vx = fvx1;
b2.vx = fvx2;

return { ball1:b1, ball2:b2 }; // return the balls with new velocities
}
else return false;
}
</script>
</head>
<body onLoad="start();">
<canvas id="cvs" width=700 height=100> </canvas>
</body>
</html>

Link para o código acima.

Explicação sobre o código

var balls = [ // balls é um array de objetos, cuja elementos são as propriedade das bolas
{x:50, y:50, r:20, m:1, vx:-1, vy:0},
{x:500, y:50, r:30, m:2, vx:-1,vy:0},
{x:650, y:50, r:15, m:0.75, vx:-0.5, vy:0}
];

function start() {
cvs1 = document.getElementById("cvs");
cvs = cvs1.getContext("2d");
cvs.strokeStyle = "red";
cvs.lineWidth = 3;
setInterval(draw, 10); // executa a função  draw a cada 10 milissegundos o que equivale a 100 execuções por segundo.
}

function draw() {
cvs.clearRect(0, 0, cvs1.width, cvs1.height);
for (var a = 0; a < balls.length; a ++) {
for (var b = 0; b < balls.length; b ++) {
if (a != b) { // a e b são os índices do array balls, pode ser 0, 1 ou 2. Se uma bola diferente da outra...
var distToBalls = Math.abs(balls[a].x - balls[b].x); // distToBalls é a distância entre os centros de duas bolas.
if (distToBalls <= balls[a].r + balls[b].r) { // Se distBalls menor ou igual a soma dos raios de duas bolas.
var newVel = getBallCollision(balls[a], balls[b]); // a variável newVel do tipo array recebe a nova velocidade da função getBallCollision().
balls[a].vx = newVel.ball1.vx;
balls[b].vx = newVel.ball2.vx;
balls[a].x += balls[a].vx; // é a nova posição da bola a cada 10 milissegundo, x = xo + vt, t = 10 milissegundos.
balls[b].x += balls[b].vx; // é a nova posição da bola a cada 10 milissegundo, x = xo + vt, t = 10 milissegundos.
}
}
}
}
for (var a = 0; a < balls.length; a ++) {
cvs.beginPath();
cvs.arc(balls[a].x, balls[a].y, balls[a].r, 0, Math.PI*2, true); // constroi as bolas do array balls.
cvs.fill();
cvs.closePath();
if (balls[a].x <= balls[a].r) balls[a].vx *= -1; // se posição (x) menor que o raio (r), a velocidade é invertida, isso faz retornar a bola quando encostar na lateral esquerda do canvas.
if (balls[a].x >= cvs1.width - balls[a].r) balls[a].vx *= -1; // se posição (x) maior que largura do canvas menos o raio (r), a velocidade é invertida, isso faz retornar a bola quando encostar na lateral direita do canvas.
balls[a].x += balls[a].vx; // velocidade de retorno
}
}
function getBallCollision(b1, b2) {
var dx = Math.abs(b1.x - b2.x);
if (dx != 0 && dx <= b1.r + b2.r) { // se distância entre os centros duas bolas b1 e b2 for diferente de zero e menor que a soma dos raios.

var vx1 = b1.vx; // velocidade antes da colisão
var vx2 = b2.vx; // velocidade antes da colisão

var fvx1 = ((b1.m - b2.m) * vx1 + (2 * b2.m) * vx2) / (b1.m + b2.m); // velocidade após a colisão
var fvx2 = ((2 * b1.m) * vx1 + (b2.m - b1.m) * vx2) / (b1.m + b2.m); // velocidade após a colisão

b1.vx = fvx1; // velocidade após a colisão
b2.vx = fvx2; // velocidade após a colisão