Curva Evolvente de um Círculo e Função Involuta de um Ângulo de Inclinação

Etapa1
Será desenhado uma engrenagem de dente reto por etapas, esta primeira etapa é a mais importante porque será gerado a curva evolvente que é a principal caracteristica da engrenagem.

Definições
Evolvente de círculo: é a curva descrita por um ponto P de uma reta s que gira sem escorregar sobre uma circunferência chamada circunferência de base de raio rb.

A evolvente pode ser descrita como a curva gerada pela extremidade de um fio esticado (ponto P) que é desenrolado da circunferência de um determinado círculo (apartir do ponto Po), como indicado na figura abaixo. O círculo do qual o fio é desenrolado é conhecido como círculo base. O fio corresponde a reta s que vai girando a medida que é desenrolado.

Circunferência de base: circunferência sobre a qual rola a reta que contém o ponto geratriz, o raio de base rb é o raio dessa circunferência.
ψ: ângulo de incidência ou ângulo de inclinação da evolvente,  ângulo entre o vetor radial (r) e a tangente a curva evolvente (t), é o ângulo determinado pelo raio vetor de um ponto P e o raio de base que passa pelo ponto de tangência entre a circunferência de base e a reta geratriz com o mesmo ponto P.
θ: ângulo do raio vetor é a função evolvente de ψ;
θ +  ψ : ângulo através do qual a linha é desenrolada, ângulo de giro.
r:
raio vetor é o raio que une o centro da circunferência de base com um ponto genérico P da evolvente, correspondente ao segmento de reta OP. No caso de uma engrenagem de dente reto o raio vetor corresponderá ao raio da circunferência da cabeça do dente.
rc : raio de curvatura da curva evolvente, correspondente ao segmento de reta TP;
rb : raio base, correspondente ao segmento de reta OT;
s: reta geratriz é aquela que contém o ponto P gerador da evolvente, é sempre tangente à circunferência de base, rola sobre a circunferência de base;
t: reta tangente a curva evolvente no ponto P, t ⊥ s.
invψ = tgψ −ψ função involuta do ângulo ψ ou ângulo função da evolvente.
É também usual a terminologia evψ = tgψ −ψ, lida como "evolvente de ψ no ponto P".
É comum encontrar literatura denominando a curva evolvente de curva involuta.

Pelo triângulo retângulo OTP temos:
cosψ = rb/r => acos(rb/r) = ψ
θ = ev(ψ) = tgψ - ψ

θ + ψ = tgψ ângulo de giro da evolvente (importante para ser desenhada)

Portanto a evolvente deve girar ψ + θ para ser formada.

Propriedades:
O comprimento do arco PoT é igual ao comprimento do segmento PT;
Qualquer reta geratriz é tangente à circunferência de base;
PT é o raio de curvatura da evolvente no ponto P;
A reta tangente à evolvente é normal à reta geratriz no ponto correspondente;
O raio de curvatura da evolvente no ponto Po é nulo;
A direção da evolvente na origem (Po) é a do raio de base correspondente.

O ângulo ψ compreendido entre o raio vetor e o raio da circunferência perpendicular a reta tangente a mesma é igual ao ângulo formado pelo prolongamento do raio veto com a reta tangente a evolvente, isso se comprova através da propriedade do triângulo que diz que a soma dos ângulos internos é 180º (ou também  pelos ângulos correspondente entre duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal).

Comentário
:
Você poderá verificar na figura acima que o comprimento do arco da circunferência que vai do ponto de tangência T ao ponto Po é igual ao comprimento do seguimento de reta que vai do ponto T ao ponto P. A evolvente é formada pelos pontos P que se obtém para cada seguimento de reta TP obtido ao desenrolar o arco TPo.

Poderá obter portanto a evolvente pelo método das coordenadas cartesianas ou pelo das coordenadas polares (ângulo θ e raio vetor  dão origem ao ponto P).

Ângulo em radiano é o comprimento do arco da circunferência dividido pelo seu raio (360º = 2π rad).

Cálculo da Evolvente


A partir da Figura  a cima, pode-se determinar as coordenadas polares e cartesianas do ponto P genérico.
Do triângulo OPT tem-se:
rb = r.cosψ (I)

Lembrando que arcPoT = rc
arcPoM + arcMT = arcPoT
arcPoM + arcMT = rc   (II)


Dividindo (II) por rb tem-se:
arcPoM/rb + arcMT/rb = rc/rb

Como tg ψ = rc/rb,  arcPoM/rb =  θ (em radianos) e arcMT/rb =  ψ (em radianos)

∴ θ + ψ = tg ψ => θ = tg ψ - ψ

θ é denominado função evolvente de ψ . Praticamente é escrita da forma ev(ψ).
ψ é a inclinação da evolvente.
θ = tg ψ - ψ (III)  (com ψ expresso em radianos)
Com θ na forma de funçãoev(ψ) = tgψ - ψ
Se ψ estiver em grau, converta-o para radiano: (π . ψ)/180
Repare que: β = θ + ψ => β = tg ψ
Na terminologia em uso para as engrenagens, o ângulo θ também é chamado involuta de ψ sendo indicado com o símbolo invψ ou ainda como função evolvente, evψ.


Cálculo das Coordenadas Cartesianas


Apartir da figura  abaixo, pode-se determinar as coordenadas polares e cartesianas de um ponto P genérico.

Anotações:
O: centro da circunferência de base
arcoTPo = TP (comprimento)
TP, OM, NP, MN, MT, NT, OT, OZ: seguimentos de reta (comprimento)
β = ângulo TÔZ = θ + ψ
θ =ângulo PÔZ (" θ" é a evolvente do ângulo "ψ" no ponto P representado por  θ = evψ.

ψ=ânguloTÔP ("ψ" é o ângulo de inclinação da evolvente no ponto P, mede o quanto este ângulo afastou se da reta tangente a evolvente.

r: raio vetor;
rb: raio base


Obs:
OT perpendicular a reta s
reta t perpendicular a reta s
Logo, angulo OPQ = TÔP, angulos alternos interno, cuja tansversal é o segmento de reta OP
β: mede o quanto o arco de circunferência foi  esticado,  perceba que  ao esticar  uma circunferência completa com um giro de 360º, a curva da evolvente não girou 360º.

Coordenadas Cartesianas
NP // eixo-x e MN // ZP // eixo-y
A reta s é tangente a circunferência de base em T e normal a reta t em P
A reta t é tangente a evolvente em P

Como radiano é o comprimento do arco dividido pelo raio da circunferência: b = arcoPoT/OT (em radianos), ou seja:
arcoPoT = TP, OT = rb e NP = MZ

Abscissa:
x = OM + MZ (I)
OM = rb * cosβ  (II)

arcoPoT/rb = β (em radiano) por definição de ângulo em radiano, como arcoPoT = TP, então:
TP/rb = β 
TP= β*rb  (III)

OZ = OM + NP (IV)

Pelo triângulo TNP tem-se:
NP = TP * senβ = MZ   (IV)
NP = rb * β * senβ = MZ   (V) obtido de (III) e (IV)
Como x = OM + MZ, então:
x = rb * cosβ + rb * β * senβ (VI)  obtido de (II) e (IV)

Ordenada:
Analogamente à abscissa.
y = MN
Pelo triângulo OTM tem-se:
senβ = MT/rb , ou seja, MT = senβ * rb (I)
Pelo triângulo TNP tem-se:
cosβ = TN/TP (II)

TP/rb = β (já demonstrado  na abscissa)
TP= β*rb  (III)

TN =cosβ*β*rb (IV) obtido de (II) e (III)

Como: y = MN = MT - TN
y = senβ * rb - cosβ*β*rb
y = rb * (senβ - β * cos β)  (V) obtido de (I) e (IV)

x = rb *( cosβ + β * senβ)
y = rb * (senβ - β * cos β)

θ = ev(ψ)= tg ψ - ψ
β = θ + ψ => β = tg ψ

Obs:
Quando
θ = 360º a curva evolvente faz uma volta completa.


Coordenadas Polares


P(r, θ)
θ: ângulo do raio vetor é a função evolvente de ψ;
r: raio vetor.
O: polo
x: é o eixo polar

Mudança de Coordenadas Polares para Cartesianas:
x = r.cosθ
y = r.senθ


Desenho Prático


O desenho abaixo tem como base a segunda figura acima.



PÔZ = e: o argumento (ângulo = 20 º), calculado com base no ângulo c
PÔT = c: parâmetro (ângulo de inclinação da evolvene = 51,1545 º), é dado, no caso em questão esse valor não é usual, apenas como demonstração para o calculo, pois, tais valores na realidade são padronizados.

Ângulo c compreendido entre o raio vetor e o raio da circunferência perpendicular a reta tangente a mesma é igual ao ângulo formado pelo prolongamento do raio veto com a reta tangente a evolvente, isso se comprova através da propriedade do triângulo que diz que a soma dos ângulos internos é 180º.

O desenho acima foi feito sabendo o raio de base e o ângulo de inclinação que é 51,1545º. Desenha a circunferência de base, desenha se a evolvente, o raio de base é perpendicular a reta s no ponto T que é tangente a circunferência e por sua vez a reta t é tangente a evolvente.

ê = (TÔZ/rb) - c (1), simples subtração de ângulos (em radianos)
tg c = TP/rb, ou seja cateto oposto sobre cateto adjacente, logo:
TP = TÔZ = rb * tg c (2)

Lembre que TP = TÔZ (comprimento do arco TÔZ = seguimento TP)
ê = tg c - c juntando (1) e (2)
cos c = rb/raio vetor como raio vetor = rb/cos c
tag (51.15)=1.22

51.15 grau = 0.89273591239638223508 radiano
1.22-0.89273591239638223508=0.33 radianos = 18.90760723929 grau

Comentário:
A evolvente possui algumas propriedades que a tornam extremamente importante para a indústria de engrenagens: se duas engrenagens engatadas possuem dentes com o perfil evolvente, elas formam um sistema de engrenagens evolventes. Suas taxas de rotação relativas são constantes enquanto os dentes estão engrenados, e o contato ocorre sempre ao longo de um segmento de reta. Com dentes de outras formas as velocidades de rotação e as forças transmitidas são intermitentes, disto resultando vibrações, ruidos e desgaste excessivo. Por esta razão aproximadamente todas as engrenagens atualmente produzidas possuem dentes com a forma evolvente.
A evolvente de um círculo é também uma forma fundamental em compressores, pois um compressor espiral pode ser construido baseado nesta forma. Compressores espirais fazem menos barulho que compressores convencionais, sendo também mais eficientes.
A curva evolvente é universalmente utilizada como perfil dos dentes das engrenagens.
Outras curvas como as cicloidais são exceções e aplicadas em casos muito específicos.

Um arco de evolvente utilizado como perfil de dentes de engrenagens apresenta as seguintes características:
A usinagem é feita por geração da evolvente que utiliza ferramentas mais simples, facilitando a fabricação;
A relação de velocidades angulares não varia com a variação da distância entre centros (um arco da evolvente funciona estando próximo ou afastado da circunferência de base);
Facilidade de obtenção de dentes corrigidos;
A direção da força resultante entre os dentes permanece invariável.


Desenho do Círculo de Base e de sua Evolvente

O objetivo é dar os primeiros passos para o desenho de uma engrenagem de dente reto. Será criado primeiramente o arquivo HTML e depois o arquivo externo JavaScript com o código do círculo de base e da evolvente.

arquivo.html
Esse arquivo possui um canvas e um botão para execução da função app.func3().
<!DOCTYPE html>
<html lang="pt_BR">
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>Canvas com HTML5</title>
<style>
</style>
<script src="file3.js"></script>
</head>
<body>
<canvas id="c" width="500" height="400"></canvas>
<botton style="border: 1px solid black;" onclick="app.func3()">Clique aqui!</botton>
</body>
</html>

Arquivo externo javascript, file3.js
O arquivo externo file3.js pode ser feito em um editor de texto com extenção .js.
O círculo de base tem basicamente o mesmo código que nos projetos anteriores.
A fórmula cartesiana da evolvente já foi apresentada:
x = rb *( cosβ + β * senβ)
y = rb * (senβ - β * cos β)
No código abaixo rb = 50 e β = 2π rad.
var app = {};
app.func3=(function () {

var canvas = document.getElementById("c");
  var ctx = canvas.getContext("2d");
  ctx.translate(0, 400);
  ctx.scale(1, -1);
    var step = 2*Math.PI/1000;
    var h = 250;
    var k = 200;
    ctx.beginPath(); 
    for(var beta=0;  beta < 2*Math.PI;  beta+=step)
     { var x = h + 50*Math.cos(beta);
       var y = k - 50*Math.sin(beta);   
       ctx.lineTo(x,y);
     }

    ctx.closePath();    
    ctx.stroke();
   
    ctx.beginPath(); 
    for(var beta=0;  beta < Math.PI;  beta+=step)
     {
     var x3=h+50*Math.cos(beta)+50*beta*Math.sin(beta);
     var y3=k+50*Math.sin(beta)-50*beta*Math.cos(beta);
  
     ctx.lineTo(x3,y3);
     }
   
    ctx.stroke();
    ctx.translate(0, 400);
    ctx.scale(1, -1);
});


Obs: ao trabalhar com JavaScript e HTML a execução do código é feita de cima para baixo, essa e a característica da linguagem de marcação. Ou seja, o código não consegue usar uma variável antes da sua atribuição.
Explicações:
1) ctx.closePath(): não é necessário para a evolvente porque esse comando fecha o último ponto como o primeiro ponto da figura.
2) Centralização da Figura no Canvas
A referência para o desenho é o ponto de origem no sistema de coordenadas, x=0 e y=0, (0,0).
Para centralizar a figura no canvas os pontos devem ser transladados na metade do comprimento do canvas para o eixo-x e metade da altura para o eixo-y.
3) Translação Vertical no Eixo Cartesiano
É utilizado para deslocar a figura desenhada no eixo-y, k=250.
Simplesmente soma-se um valor "k" na f(x), x é o mesmo.
f(x) → k + f(x)
k > 0 para cima ↑
k < 0 para baixo ↓
4) Translação Horizontal no Eixo Cartesiano
É utilizado para deslocar a figura desenhada no eixo-x, h=250
x → x + h
h > 0 deslocamento a figura para a esquerda ←, isto significa que o eixo-x se deslocou para a direita e a figura ficou parado, com isso, a figura fica à esquerda.
h < 0 deslocamento a figura para a direita → , isto significa que o eixo-x se deslocou para à esquerda e a figura ficou parado, com isso, a figura fica à direita.

5) Conversão para o Sistema de Coordenadas Cartesiano
Coordenadas do Canvas
O canvas em questão possui width=500 e height=400. Seu sistema de coordenadas é o mesmo da tela do computador, ou seja, o eixo-y é positivo para baixo. O eixo-x é igual a do sistema cartesiano.

Conversão para o Sistema Cartesiano
Essa conversão é necessária porque é a forma usual de trabalhar com figuras e gráficos normalmente.

As coordenadas da tela do computador não mudam porque são referências, quem muda são as coordenadas do canvas.
Para converter ao sistema de coordenadas cartesiano deve-se inverter o sinal do eixo-y e transladar todos os pontos deste eixo para cima do eixo x.
ctx.translate(0, 400): esta função translada em 400 cada pondo do eixo-y, isto é necessário porque o eixo-y mudou de sinal, onde y era igual a 400 passa a -400 no novo canvas.
O valor 400 acima se refere ao height do canvas, a coordenada y (eixo-y) é aumentada em 400.
ctx.scale(1, -1): o eixo-y tem o sinal invertido, agora é positivo para cima.
No final do código a translação e a mudança de escala é aplicada novamente para desfazê-la, pois na próxima execução do código ocorrerá a mudança de escala e translação do eixo-y novamente.

Teste


  Clique aqui!

Obs:
Para β = 0º tem-se o primeiro ponto com y=0 e x=rb, Po(0,rb) é o início da evolvente.

Tabela de conversão de ângulo de graus para radianos e cálculo de sua evolvente:
Criada com o BrOffice, ψ está em graus, o mesmo foi convertido para radiano: (π.ψ)/180 conforme a fórmula=TAN(((B3+0,1)*PI())/180) - ((B3+0,1)*PI())/180.
Exemplo: ev(10º) = 0,00179406rd , ev(10,1º)=0,00184888rd, ...

B
ev(ψ)= tg ψ - ψ (em radianos)
2
Graus 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
3
10 0,00179406 0,00184888 0,00190482 0,00196189 0,00202010 0,00207947 0,00214001 0,00220173 0,00226464 0,00232876 0,00239409
4
11 0,00239409 0,00246065 0,00252846 0,00259751 0,00266783 0,00273944 0,00281233 0,00288652 0,00296203 0,00303887 0,00311705
5
12 0,00311705 0,00319658 0,00327748 0,00335976 0,00344343 0,00352851 0,00361500 0,00370292 0,00379228 0,00388310 0,00397539
6
13 0,00397539 0,00406916 0,00416442 0,00426119 0,00435948 0,00445931 0,00456068 0,00466362 0,00476812 0,00487421 0,00498191
7
14 0,00498191 0,00509121 0,00520215 0,00531472 0,00542895 0,00554484 0,00566242 0,00578169 0,00590267 0,00602537 0,00614980
8
15 0,00614980 0,00627599 0,00640394 0,00653367 0,00666519 0,00679851 0,00693365 0,00707063 0,00720946 0,00735014 0,00749271
9
16 0,00749271 0,00763716 0,00778352 0,00793180 0,00808201 0,00823417 0,00838829 0,00854439 0,00870249 0,00886259 0,00902471
10
17 0,00902471 0,00918887 0,00935508 0,00952336 0,00969371 0,00986617 0,01004074 0,01021743 0,01039627 0,01057726 0,01076043
11
18 0,01076043 0,01094579 0,01113335 0,01132313 0,01151514 0,01170941 0,01190594 0,01210476 0,01230587 0,01250930 0,01271506
12
19 0,01271506 0,01292316 0,01313363 0,01334647 0,01356172 0,01377937 0,01399945 0,01422197 0,01444696 0,01467443 0,01490438
13
20 0,01490438 0,01513685 0,01537185 0,01560939 0,01584950 0,01609218 0,01633746 0,01658536 0,01683588 0,01708905 0,01734489
14
21 0,01734489 0,01760341 0,01786464 0,01812858 0,01839525 0,01866469 0,01893689 0,01921188 0,01948969 0,01977032 0,02005379
15
22 0,02005379 0,02034013 0,02062935 0,02092147 0,02121650 0,02151448 0,02181541 0,02211932 0,02242622 0,02273614 0,02304909
16
23 0,02304909 0,02336509 0,02368416 0,02400632 0,02433160 0,02466000 0,02499155 0,02532628 0,02566419 0,02600531 0,02634966
17
24 0,02634966 0,02669727 0,02704814 0,02740230 0,02775978 0,02812059 0,02848475 0,02885229 0,02922322 0,02959756 0,02997535
18
25 0,02997535 0,03035659 0,03074131 0,03112953 0,03152128 0,03191657 0,03231543 0,03271788 0,03312394 0,03353363 0,03394698
19
26 0,03394698 0,03436401 0,03478474 0,03520919 0,03563739 0,03606936 0,03650512 0,03694469 0,03738811 0,03783539 0,03828655
20
27 0,03828655 0,03874163 0,03920063 0,03966360 0,04013055 0,04060151 0,04107649 0,04155553 0,04203866 0,04252588 0,04301724
21
28 0,04301724 0,04351275 0,04401245 0,04451635 0,04502448 0,04553686 0,04605353 0,04657451 0,04709983 0,04762950 0,04816357
22
29 0,04816357 0,04870205 0,04924497 0,04979236 0,05034424 0,05090065 0,05146161 0,05202714 0,05259728 0,05317206 0,05375149
23
30 0,05375149 0,05433562 0,05492446 0,05551806 0,05611642 0,05671959 0,05732760 0,05794047 0,05855823 0,05918091 0,05980855