Algebra I


1. Matrizes

Definição: Chama-se matriz de ordem mxn a uma tabela com elementos dispostos em m linhas por n colunas delimitados por um par de colchetes.
A matriz M abaixo possui m linhas por n colunas.
Cada elemento aij (i: linha, j:coluna) possui o primeiro indice correspondente a linha e o segundo índice correspondente a coluna.
M =   a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n ... a m1 a m2 ... a mn

1.1. Tipos de Matrize
Matriz linha: possue apenas uma linha.
=   a 11 a 12 ... a 1n

Matriz coluna: possue apenas uma coluna.
=   a 11 a 21 ... a m1

Matriz zero: todos os elementos são iguais a zero:
Matriz nula:  é a matriz A = [aij]mxn onde aij = 0; para 1 ≤ i ≤ m e1 ≤ j ≤ n.
amn = 0
A matriz nula será denotada por 0 (zero).

Matriz quadrada: o número de linhas é igual ao número de colunas.
A = [aij]nxn
Os elementos da forma aii costituem a diagonal principal em uma matriz quadrada, ou seja, i = j.
Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária. Repare na figura abaixo que a22 pertence as duas diagonais.

Matriz diagonal: é a matriz quadrada A = [aij]nxn onde aij = 0 para i ≠ j.
=   a 11 0 12 ... 0 1n 0 21 a 22 ... 0 2n ... 0 n1 0 n2 ... a nn

Matriz identidade: é uma matriz diagonal com os elementos da diagonal principal iguais a 1 (um).
I n   =   1 12 0 12 ... 0 1n 0 21 1 22 ... 0 2n ... 0 n1 0 n2 ... 1 nn

Matriz transposta: é a matriz cuja primeira coluna é a primeira linha da matriz original, a segunda coluna é igual a segunda linha da matriz original, assim sucessivamente, ou seja, de forma ordenada cada coluna da matriz transposta é a respectiva linha da matriz originária.
Ou também podemos obter a matriz transposta  cuja primeira linha é a primeira coluna da matriz original, a segunda linha é igual a segunda coluna da matriz original, assim sucessivamente, ou seja, de forma ordenada cada linha da matriz transposta é a respectiva coluna da matriz originária.

Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz AT= [bij]nxm, cujas linhas são as colunas de A ou  cujas colunas são as linhas  de A.


Matriz simétrica: uma matriz quadrada S é simetrica se:
ST= S

Matriz anti-simétrica: uma matriz quadrada A é anti-simétrica se:
AT= -A

Matriz Triangular Superior: quando a matriz quadrada [aij]nxn tem os elementos aij = 0 para i > j (lado debaixo da diagonal principal).
A nxn   =   a 11 a 12 ... a 1n 0 21 a 22 ... a 2n ... 0 n1 0 n2 ... a nn

Matriz Triangular Inferior: quando a matriz quadrada [aij]nxn tem os elementos aij = 0 para i < j (lado decima da diagonal principal).
A nxn   =   a 11 0 12 ... 0 1n a 21 a 22 ... 0 2n ... a n1 a n2 ... a nn

Curiosidade
(discussão)
Seja A uma matriz quadrada de nove elementos (1,2,3,4,5,6,7,8 e 9) cuja matriz índice B, bij = i+j possui algumas coincidências, linhas e colunas estão em ordem crescente. Linhas e colunas de ambas matrizes formam sequencias numéricas relacionadas entre si. Primeira linha da matriz B é igual a primeira linha da matriz A mais 1, etc.


1.2. Operação Matrizes
1.2.1. Adição
Trata-se de simples soma de elementos de mesma posição de linhas e colunas.
Dados A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, número de colunas iguais e número de linhas iguais, A+B será:
A+B = [aij + bij]mxn
Propriedades
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = A

1.2.2. Subtração
É a adição com sinais invertidos: A - B = A + (-B).

1.2.3. Multiplicação por Escalar
Dados A = [aij]mxn e k ∈ ℜ, k.A será:
k.A = [k.aij]mxn

1.2.4. Multiplicação por Matrizes
Seja A = [aij]mxn e B = [bij]nxp, definimos A.B por AB = [cij]mxp, onde:
c ij =   k = 1 n a ik . b kj = a i1 . b 1j + ... + a in . b nj
n: número de colunas de A e número de linhas em B.

Na prática:
- Pega a 1ª linha da primeira matriz A, emparelha com a 1ª coluna da segunda matriz B.
Multiplica-se cada elemento que estão na mesma "altura" ou "coluna de emparelhamento" e soma-se essa multiplicação, o resultado é o primeiro elemento da 1ª linha da nova matriz C.
- Pega a 1ª linha da primeira novamente da matriz A, emparelha com a 2ª coluna da segunda matriz B.
Multiplica-se cada elemento que estão na mesma "altura" ou "coluna de emparelhamento" e soma-se essa multiplicação, o resultado é o segundo elemento da 1ª linha da matriz C.
- Repete-se esse processo até a última linha da primeira matriz, dessa forma teremos a primeira linha da matriz C.
- Pega-se a 2ª linha da primeira matriz que é A e realiza-se o mesmo processo e assim obtém-se a segunda linha da matriz C.
- Repetir todo o processo até a ultima linha da matriz A.

A figura abaixo mostra a mulltiplicação da primeira linha da matriz A por todas as colunas da matriz B, obtendo assim a primeira linha da matriz C.

Repetir o mesmo processo utilizando a próxima linha da matriz A, obtendo-se assim a próxima linha da matriz C.

1.2.4.1.  Propriedades da Multiplicação de Matrizes
a) AI = IA = A
b) A(B + C) = AB + AC
c) (A + B)C = AC + BC
d) (AB)C = A(BC)
e) (AB)T = BTAT
f) 0A = A0 = 0
Obs: AB ≠ BA

1.3. Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A = [aij]nxn, se existir uma matriz B que satisfaça AB = BA = I diz-se que B é a inversa de A e denota-se B por A-1ou seja, AA-1 = A-1A=I
Como a inversa da inversa é a própria matriz temos também: A-1A = AA-1=I
Exemplo:
Calcular a matriz inversa de:
=   11 3 7 2  
Resolução
B=A-1
AB = I
Em forma de matrizes:
  11 3 7 2 ×   b 11 b 12 b 21 b 22 =   1 0 0 1
Fazendo a multiplicação:
  ( 11. b 11 + 3.b 21 ) ( 11.b 12 + 3.b 22 ) ( 7.b 11 + 2.b 21 ) ( 7. b 12 + 2.b 22 ) =   1 0 0 1
Igualando os elementos teremos um sistema:
11. b 11 + 3.b 21 = ( I ) 11.b 12 + 3.b 22 = ( II ) 7.b 11 + 2.b 21 = ( III ) 7. b 12 + 2.b 22 = ( IV )
Resolvendo o sistema:
(III) => b11 = (-2/7)b21 => substituir em (I) = > b21 = -7
Substituir b21 = -7 em (I) => b11 = 2
(II) => b12 = (-3/11)b22 => substituir em (IV) = > b22 = 11
Substituir b22 = 11 em (II) => b12 = -3
Portanto
A −1 =   2 3 7 11
Dizemos que uma matriz A é inversível (não singular) se existe a matriz inversa A-1, caso contrário dizemos que a matriz A é não inversível (singular).

Algumas propriedades importantes:
a) A é não singular se o determinante de A é diferente de zero. A é singular se o determinante de A é igual a zero.
b) Se A admite inversa (det A ≠ 0) esta é única.
c) Se A é não singular, sua inversa A-1 também é, isto é, se det A ≠ 0 então det A-1 ≠ 0. A matriz inversa de A-1 é A.
d) A matriz identidade I é não singular, pois det I = 1 e I-1 = I.
A matriz inversa de uma identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I.
e) Se a matriz A é não singular, sua transposta AT também é. A matriz inversa de AT é (A-1)T, isto é,
(AT)-1 = (A-1)T, dai concluimos que se det A ≠ 0 então AT ≠ 0.
A inversa da transposta é igual a transposta da inversa.
f) Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem o produto AB é uma matriz não singular. então vale a relação (AB)-1 = B-1A-1.
g) Existe somente uma inversa para cada matriz.
h) Nem todas as matrizes possuem uma inversa.
i) A inversa de uma matriz inversa corresponde a própria matriz: (A-1)-1 = A
j) AA-1 = A-1A=I

1.4. Matriz ortogonal
Uma matriz M, quadrada, cuja inversa coincide com sua transposta é denominada matriz ortogonal.
Portanto M é ortogonal se M-1 = MT:

Pela propriedade da matriz inversa temos: MM-1 = M-1M=I como M também é ortogonal, substituindo M-1 por MT ficará: MMT= MTM = I

1.5. Potência de Matriz
É uma matriz quadrada multiplicada por ela mesma tantas vezes quanto for o seu expoente:
Ae = A×A×...×A
1+1+...+1 = e

1.6. Matriz Escalonada
É obtida através da substituição de uma linha pelo resultado das operações elementares de multiplicação de uma linha por um escalar e soma ou subtração com outra linha afim de dispor os seus elementos de forma a facilitar os cálculos para achar as variáveis do sistema linear.

Definição
: uma matriz A = [aij]mxn está na forma escada ou escalonada, se:
1. As linhas que contém apenas zeros estão abaixo das demais.
2. Na primeira linha o primeiro elemento não nulo é conhecido como elemento líder, os elementos abaixo do lider (mesma coluna) são nulos.
3.  Na segunda linha o primeiro elemento não nulo é conhecido como elemento líder e deve ficar a direita do lider da linha acima, os elementos abaixo do lider da segunda linha (mesma coluna) são nulos.
Se as linhas 1, ...,p são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k1, então, k1 < k2 ... < kn.
4. Repetir o mesmo processo até a última linha.

Posição de pivô é a posição na matriz que contem o elemento líder.

Exemplo1

1.7. Matriz Escalonada Reduzida
Uma matriz estará em forma escalonada reduzida quando:
a) Está na forma escalonada.
b) Todos os elementos líder são iguais a 1 e são os únicos elementos não nulos das suas colunas.


1.7. Determinantes de uma Matriz
Indica-se por Det (A) o determinante da matriz quadrada A = [aij]nxn. É utilizado um traço vertical para indicar o determinante no lugar do colchete utilizado na matriz.
O determinante é a associação de um número real único que pode ser utilizado na resolução de sistemas lineares.

1.7.1. Regra de Sarrus
Utilizado para matrizes de até terceira ordem (3 linhas por 3 colunas).
Para matriz quadrada de duas ordem (A22) o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária.
Para a matriz quadrada de terceira ordem (A33) transpomos as duas primeiras colunas para o lado direito da matriz e fazemos a soma do produto das diagonais "principais" menos a soma do produto das diagonais "segundária".

1.7.2. Laplace
Esse método pode ser utilizado para calcular o determinante da matriz quadrada de qualquer ordem, porém na prática é mais vantajoso utilizá-lo para matriz com ordem superior a 3.
Para calcular os determinantes, devemos:
- Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples.
- Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
O cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:
Aij = (-1)i+j.Dij
Onde
Aij: é o cofator ou complemento algébrico do elemento aij .
i: é a linha do elemento aij.
j: é a coluna do elemento aij.
Dij: é o menor complementar do elemento aij, é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.
Det(A) = ∑(aij.Aij)
Aij = (-1)i+j.Dij

1.7.3. Regra de Chió
Consiste em diminuir a ordem de uma matriz que terá o mesmo determinante da matriz originária.
Regra:
1º) O primeiro elemento da matriz quadrada A = [aij]nxn deve ser igual a 1, isto é, a11 = 1, caso não esteja deve-se utilizar as propriedades do determinante para transformá-lo (substituição de um fila por uma combinação linear de outras filas paralelas).
Obs: pode-se aplicar também a regra de Chió caso a matriz originária tenha algum elemento igual a 1 em outra posição, nesse caso bastaria multiplicar o determinante equivalente por (-1)i+j, lembrando que os extremos são localizados pela reta horizontal e vertical que passam pelo elemento unitário.
2º)  Suprimir a primeira linha e coluna, obtendo-se assim uma matriz de ordem n-1.
3º) Subtrair de cada elemento da matriz de ordem n-1 o produto dos elementos extremos das duas perpendiculares que passam por cada elemento da matriz de ordem n-1. Tais elementos extremos pertence a matriz anterior a matriz de orem n-1. O determinante da nova matriz é igual ao determinante da matriz original.
4º) Repete-se o mesmo processo até obter uma matriz de odem 3 e assim poder utilizar a regra de Sarrus.
Esquema explicativo: Começa-se transformando o primeiro elemento da matriz A em 1 para aplicar a regra de Chió.


1.7.4. Propriedades do Determinante

O determinante se altera:
a) Trocando filas paralelas
O sinal do determinante de uma matriz quadrada é multiplicado por -1 quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
b) Multiplicando uma fila por k
Quando os elementos de uma fila são multiplicados por k∈ℜ e k ≠ 0, o determinante da matriz quadrada fica multiplicado por k.
c) Quando todos os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, o determinante da matriz é nulo.
d) Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.
e) Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, então seu determinante será nulo.
f) Se uma matriz A quadrada de ordem n, for multiplicada por um número k∈ℜ qualquer, então seu determinante será multiplicado por kn.
det (k.A) =kn.det A
g) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
det A = detAT
h) Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, então o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal.
i) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma delas.
det (A.B) = det A.det B
j) Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
1.8. Operações  Elementares  com filas de  uma Matriz
São as propriedades a) b) e j).
a) O sinal do determinante de uma matriz quadrada é multiplicado por -1 quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
b) Quando os elementos de uma fila são multiplicados por k∈ℜ e k ≠ 0, o determinante da matriz quadrada fica multiplicado por k.
j) Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Para facilitar a demostração da operação cada linha será representada pela letra Ln sendo que n é o seu índice.

Exemplo de multiplicação de uma fila de uma matriz por um escalar:


Exemplo de Substituição de uma fila de uma matriz por uma Combinação Linear:



2. Polinômio
È a soma de monômios que por sua vez são formados por letras, que são chamadas de parte literal, e números, que são chamados de coeficientes formando assim expressões algébricas (letras e numeros):
Expressão:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + ... + a1x1 + a0

2.1. Função Polinomial
É formada por uma expressão polinomial que retorna uma valor numérico.
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + an-3xn-3 + ... + a1x1 + a0
an, an-1, an-2, an-3, ...a1, a0: coeficientes
x: variável (apenas uma variável)
n, n-1, n-2, n-3, ..., n, n0: números naturais
n: grau do polinômio se an ≠ 0.
P(x): possue valor numérico
Para P(x) = 0 => x é raiz do polinômio
Termo do polinômio: anxn, an-1xn-1, an-2xn-2, an-3xn-3 + ... + a1x1 e a0.
Monômio: é um termo do polinômio.
Binômio: um binômio é um polinômio com apenas dois monômios separados por uma operação da aritmética (adição ou subtração).
Trinômio: um trinômio é um polinômio com três monômios e separados por duas operação da aritmética. (adição ou subtração).

2.1.1. Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão com Polinômios
- Adição: a adição de dois ou mais polinômios é feita somando os coeficientes dos termos em que o grau coincide.
Exemplo:
A(x) = 2x³ + 2x² – 3x + 1
B(x) = x³ + 3x² – 2x + 2
A(x) + B(x) = (2x³ + 2x² – 3x + 1) + (x³ + 3x² – 2x + 2) = (2 + 1)x³ + (2 + 3)x² + (- 3 – 2)x + (1 + 2) =
= 3x³ + 5x² – 5x + 3

- Subtração:a subtração de dois ou mais polinômios acontece da mesma forma, subtrai-se os coeficientes dos termos coincidentes.
Exemplo:
A(x) = 3x³ + 2x² – 2x + 3
B(x) = 2x³ – x² + 5x – 4
A(x) – B(x) = (3x³ + 2x² – 2x + 3) – (2x³ – x² + 5x – 4) = (3 + 2)x³ – (2 – 1)x² – (-2 + 5)x – (3 – 4) =
= 5x³ – x² – 3x + 1

- Multiplicação: a multiplicação é feita utilizando a propriedade distributiva da multiplicação. Assim, é multiplicado os coeficientes dos termos e conserva-se a variável, caso exista, e os expoentes são somados.
Exemplo:
A(x) = 2x³ + 2x + 1
B(x) = x² + 2x – 2

-Divisão: é exatamente o inverso da multiplicação, o quociente multiplicado  pelo divisor resulta no dividendo. Se na multiplicação multiplicamos e somamos na divisão dividimos e subtraimos. Utiliza-se o método da chave que consiste na divisão de dois polinômios A(x) e B(x), não nulos. Nessa divisão obteremos os polinômios Q(x), que é o quociente, e R(x), que é o resto. É necessário verificar se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Se não for, não será possível fazer a divisão.

A(x): é o dividendo
B(x): é o divisor
Q(x): é o quociente
R(x): é o resto

Vamos desfazer a multiplicação anterior
1°) Divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 2x³
2º) Multiplica-se o resultado de 1º) pelo divisor: 2x .(x² + 2x - 2)
3º) Subtrai-se o resultado de 3º) do dividento.
4º) Abaixa-se os termos do dividendo para formar o novo dividendo: 2x³ + 5x² - 2x
5º) Apartir daqui repete-se a mesma operação com o novo dividendo. Repita o processo até que o grau do resto R(x) seja menor que o grau do divisor B(x) ou o grau do resto R(x) ser 0 (zero).

Exemplo:
Vamos desfazer a multiplicação anterior seja A(x) = 2x5 + 4x4 - 2x + 5x² - 2x - 2 o dividendo e B(x) = x² + 2x - 2 o divisor.

2.1.2. Fatoração de Polinômios
Coloca-se o fator comum em evidência e faz o agrupamento.
12x + 6y – 9z = 3(4x + 2y -3z)

3. Relação de Proporção entre Triângulos Semelhantes
É comum encontrar a definição de razão como uma divisão de grandezas e proporção uma igualdade entre duas razões. Porém será tratado aqui a diferença entre grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais.

3.1. Grandezas Diretamente Proporcionais

a: uma grandeza
b: outra grandeza
k: uma constante (número)
Para que a constante k não mude, se a aumenta ou diminui, b também aumenta ou diminui na mesma proporção. Ou seja, numerador e divisor tem de ser multiplicados pelo mesmo número.
Exemplo: 20km/h = 40km/2h

3.2. Grandezas Inversamente Proporcionais
a.b = k
a: uma grandeza
b: outra grandeza
k: uma constante (número)
Para que a constante k não mude, se multiplicar a por um número, tenho que dividir b pelo mesmo número e vice-versa.

3.3. Teorema de Tales:
Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a uma razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.Podemos combinar vários tamanhos de segmentos correspondentes formando assim várias proporções diferentes.


3.3.1. Determinantes
Montemos uma matriz com os numeradores na primeira linha e denominadores na segunda linha da proporção formada entre duas linhas concorrentes transversais a duas retas paralelas.
O produto dos extremos (a e d) é igual ao produto dos meios (b e c) cuja subtração entre ambos é o determinante da matriz montada.
Conclusão:
Determinante igual a zero significa uma reta.

Cada proporção matém o mesmo determinante.


3.3.2. Proporção da Soma ou Diferença no Teorema de Tales

A figura abaixo tem o mesmo princípio da figura anterior (semelhança de triângulos), acrescenta-se mais uma reta transversal na figura anterior, r3:


Determinante da Proporção


Exemplo:

4. Reta
A reta e a equação linear são explicadas pelo Teorema de Tales e possuem as mesmas propriedades, assim é conveniente estudá-la afim de distinguir ambas. Ou seja, falamos das mesmas coisas com conceitos diferente e mesmas propriedades (proporção).
4.1. Tangente
Não devemos decorar sinais, mas levá-los em consideração. Se temos que decorar algum sinal, decoremos apenas os sinais dos senos e cossenos, assim, evitamos excesso de fórmulas, por exemplo, a fórmula da tangente é seno sobre cosseno.
Da tangente decorre a fórmula da reta, por isso a sua importância.

4.2. Equação Reduzida da Reta
É sempre oportuno resolver uma equação da reta através de dois pontos de intersecção com os eixos.
Utiliza um ponto de intersecção com o eixo-y e o ângulo de inclinação.
Para x = 0 => y = ?
Para y = 0 => x = ?
A tangente de um ângulo é sempre (para qualquer quadrante) obtida pela divisão da diferença entre a coordenada-y de módulo maior e a coordenada-y de módulo menor sobre a diferença das respectivas coordenadas-x.  O módulo é apenas uma indicação, não faz parte do cálculo.

a: coeficiente ângular
b: coeficiente linear

4.3. Reta Horizontal/Vertical
É uma constante.


4.4. Equação Segmentada da Reta
Utiliza apenas os dois pontos de intersecção com os eixos.

Determinante
x y 1 0 q 1 p 0 1 = 0 = qx + py pq qx + py = pq

4.5. Equação Geral da Reta
Uma reta é identificada por dois pontos que produzem triângulos retos semelhantes.
Caso de Semelhança de Triângulos:
- Dois triângulos são semelhantes se possuem os lados homólogos proporcionais e consequentemente os ângulos correspondentes são congruentes. Caso LLL ou AAA. Há dois outros casos de semelhanças.
- Como a soma dos ângulos interno de um triângulo são 180º, basta que dois triângulo tenham dois ângulos congruentes ordenadamente para serem semelhantes. Caso AA que na verdade é o próprio caso AAA.
- Dois triângulos que possuem dois lados homólogos proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Caso LAL. Neste caso para dois triângulos retângulos semelhantes (LAL) as duas hipotenusas estão em linha reta.

Na figura abaixo os triângulos retângulos formados pela reta e sua inclinação tem os lados proporcionais. A constante de proporção é justamente a tangente do ângulo. O desenvolvimento dessa proporção gera a Equação Geral da Reta que pode ser disposta em forma de um determinante.

Equação Geral da Reta na Forma de Determinante:
x y 1 x1 y1 1 x2 y2 1 = Ax + By + C   = 0

4.6. Retas Paralelas
São retas que possuem as mesmas inclinaçoes ou coeficientes ângulares.

Duas retas paralelas possuem coeficientes A e B da equação geral da reta diretamentes proporcionais.

Os coeficientes A e B podem ser substituidos por A' e B' e vice-versa nas equações porque são proporcionais, ou seja, a tangente das duas reta não se alteram.
4..7. Retas coincidentes
É um caso particular de duas retas paralelas onde os três coeficiente são proporcionais ou b = b'.


4.8. Intersecção De Duas Retas
São duas retas que tem um ponto em comum ou seja, não são paralelas (coeficientes A e B da euqação geral da reta não são proporcionais). Também não pode ser coincidentes (coeficientes A, B e C da equação geral da reta não são proporcionais . O ponto em comum satisfaz as duas equações.

4.9. Equações Paramétricas da Reta

As equações paramétricas de uma reta são duas equações que estabelecem uma relação entre as variáveis principais, x e y, e outra variável real e secundaria t chamada parâmetro.
Por exemplo:
x = t 4 , t &reals; y = 3 t + 8

1) Mostrar que três retas concorrentes A1x+b1y+C1=0, A2x+By2+C2=0 e A3x+B3y+C3=0 possue o determinante formado por seus coeficientes igual a zero:
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 = 0 
Solução:
Sistema de três equações e três incógnitas.
A1x B1y C1 = 0 A2x B2y C2 = 0 A3x B3y C3 = 0

5. Equação Linear
Uma equação linear ou de grau um é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3, ...,+ anxn = b onde a1, a2, a3,...an,  são números reais chamados coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ...xn  e b é um termo independente que é o valor numérico da equação linear. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea. O número de incógnitas é igual a número de equações.
Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade a1x1 + a2x2 + a3x3, ...,+ anxn = b deve ser verdadeira.

O Teorema de Tales explica a proporção entre os seguimentos de duas retas transversais que se interceptam entre si em um ponto comum e atravessam duas retas paralelas.
Tais proporção são propriedades:
- Das equações gerais de retas paralelas, concorrentes e coincidentes.
- Das operações elementares com filas de matrizes.
- Das equações de um sistema linear.

Obs:
A equação geral da reta é uma equação linear.
A equação reduzida da reta y = ax + b não tem as propriedades da matriz, temos que transformá-la em equação geral da reta do tipo ax - y + b = 0 para que possa fazer parte de um sistema linear.
Uma equação geral da reta pode ser transformada em equação reduzida da reta.

5. Sistema de Equações Lineares:
Um sistema de equações lineares possue incógnitas com expoente igual a 1. Para que haja solução o número de incógnitas tem de ser igual ao número de equações.

As incógnitas possuem grau 1, com isso, cada equação pode representar uma reta com equação geral (duas incógnitas) ou conjunto de retas (mais de duas incógnitas).
Para que o sistema tenha uma solução, as retas devem concorrer-se em um ponto em comum, ou seja, não são nem paralelas nem coincidentes, portanto não apresentamcoeficientes proporcionais.
Exemplo:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +...+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +...+ a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +...+ a 3n x n = b 3 ... a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 +...+ a nn x n = b n

Sistema de Equações na Forma de Produto de Matrizes
a 11   a 12  a 13. ... a 1n a 21   a 22  a 23 ... a 2n a 31  a 32   a 33 ... a 3n ... a n1  a n2  a n3  ... a nn . x 1 x 2 x 3 ... x n = b 1 b 2 b 3 ... b n

Determinante
:
Δ = a 11 + a 12 + a 13 + ... + a 1n a 21 + a 22 + a 23 + ... + a 2n a 31 + a 32 + a 33 + ... + a 3n ... a n1 + a n2 + a n3 + ... + a nn

A possibilidade de um sistema linear possuir solução está no posto de seu sistema;
Define-se posto o número de linhas não-nulas linearmente independentes de um sistema em forma matricial;
Uma solução de um sistema linear nas variáveis x1, x2, x3, ...xn é uma atribuição de valores às variáveis que verificam (ou satisfazem) todas as equações do sistema.

Entendimento
Para facilitar o entendimento irei montar um sistema linear apartir das proporções de três retas que se interceptam em um ponto comum e atravessam três retas paralelas conforme figura abaixo:
Foram escolhidos valores aleatórios, porém, que satisfação o Teorema de Tales.


Agora vamos acrescentar as incógnitas
:
Os coeficientes das incógnitas foram escolhidos aleatoriamente de forma a facilitar os cálculos.


Montando o sitema linear:

Conclusão: os coeficientes do sistema de equações lineares são proporcionais, os coeficientes das retas r1, r2 e r3 não são proporcionais, pois há uma ponto em comum. Não confundir tais coeficientes. 

6. Sistema Linear Equivalente

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando eles possuem o mesmo conjunto solução.
Um sistema linear possui um ponto em comum e portanto não apresentam proporcionalidade entre os coeficientes da equação. Porém, podemos substituir um sistema linear por outro equivalente que possui equações coincidentes ao sistema original, ou seja, possue os coeficientes proporcionais e portanto uma equação pode ser substiruida por uma combinação linear das demais.
A equação geral da reta e um sistema linear possuem as mesma propriedade das linhas de uma matriz quanto a sustituição de uma linha pela soma ou subtração de outras linhas e também quanto a sustituição de uma linha pela combinação linear das outras linhas. Essa proporcionalidade é decorrente do Teorema de Tales.

Em um sistema de equações lineares poderemos substituir qualquer equação da reta pela correspondente equação da reta coincidente.
- Sabendo que duas retas coincidentes tem seus coeficientes proporcionais quando multiplicamos os coeficientes de uma mesma reta por uma constante, escalar ou múltiplo  diferente de zero (k ∈ ℜ) teremos uma nova reta coincidente.
- Quando somamos ou subtraimos os correspondentes coeficientes de duas equações de um sistema linear teremos uma nova equação que pode substituir qualquer uma das duas equações utilizadas para esse cálculo.  Isso simplesmente cria uma nova equação diferente das anteriores, é uma propriedade mais  algébrica do que geométrica.
- Podemos combinar multiplicação por um escalar ou múltiplo  diferente de zero (k ∈ ℜ) mais soma ou subtração entre duas equações de um sistema linear e substiuir uma das equações utilizadas na operação.
- Quando trocamos duas equações de uma sistema linear de lugar o cálculo das variáveis do novo sistema não se altera porque o determinante muda de sinal, porém como a incógnita é uma divisão de determinantes essa mudança de sinal não interfere no resultado do cálculo das incógnitas.
- As propriedades de operações elementares com matrizes é mais amplo do que com sistema linear, pois as operações elementares com matrizes as operações podem ser feitas entre duas linhas ou entre duas colunas. Se as operações elementares de um sistema linear forem feitas entre duas colunas não conseguiriamos escalonar a matriz do sistema.

6.1. Operações  Elementares  com Equações de um Sistema Linear
Quando uma matriz representa um sistema linear de equações podemos fazer algumas operações com suas linhas que o sistema de equações não se altera. O Teorema de Jacob é explicado pelo Teorema de Tales.
A solução de um sistema de equações possível e determinado existe um ponto em comum entre as equações das retas. Tais retas não são paralelas nem coincidentes.

6.2. Permuta de duas equações
: com a troca de duas filas paralelas  de uma matriz o determinante da matriz inverte seu sinal, já no sistema linear a troca de duas equações  (linhas da matriz do sistema) não altera o cálculo da variável porque a variável é o resultado da divisão entre dois determinantes.
Exemplo: vamos permutar a linha L1 com a linha L3 do sitema linear abaixo.

6.3. Multiplicação ou Divisão
Multiplicação ou divisão dos coeficientes de uma equação do sistema linear por um escalar, constante ou múltiplo (k ∈ ℜ e k ≠ 0): Isso cria uma nova equação coincidente com a original, porém ao efetuar a soma ou subtração com outra equação cria-se uma nova equação que pode substituir qualquer uma daquelas equações que participaram da operação.

6.4. Substituição por Combinação Linear
Susbstituição de uma equação do sistema linear por uma combinanção linear de quaisquer outras equações, essa regra é decorrente do Teorema de Jacob.  Significa substiruir uma equação pelo resultado das operações elementas entre outras equações.
Exemplo:


7. Regra de Cramer
Um outro método de resolução de sistemas lineares de ordem nxn a Regra de Cramer onde as soluções do sistema linear são calculadas usando o determinante. Justamente por usar o determinante este método torna-se inviável computacionalmente, mas é bastante prático em certas questões teóricas.

Para um sistema com n equações lineares, n incógnitas xn e com o determinante da matriz incompleta do sistema liner diferente de zero (D ≠ 0). O sistema é possível (tem solução) e determinável (uma única solução).
a 1 x 1 + b 1 y 1 + c 1 z 1 = d 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = d 2 a 3 x 3 + b 3 y 3 + c 3 z 3 = d 3
Determinanes:
D = a 1   b 1  c 1 a 2   b 2  c 2 a 3  b 3   c 3 ,   D x = d 1   b 1  c 1 d 2   b 2  c 2 d 3  b 3   c 3 ,   D y = a 1   d 1  c 1 a 2   d 2  c 2 a 3  d 3   c 3 ,   D z = a 1   b 1  d 1 a 2   b 2  d 2 a 3  b 3   d 3 

Resultado: x = Dx/D   y = Dy/D    e    z = Dz/D

Duas Retas Formam Um Sistema De Duas Equações

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Casos Possíveis
- Sistema Possível e Determinado:
a/a' ≠ b/b'
Duas retas que não são paralelas nem coincidentes, são portanto concorrentes, há um ponto em comum.

- Sistema Possível (ou Compatível) e Indeterminado:
a/a' = b/b' = c/c'
Há infinitos pontos em comum, ou seja, retas coincidentes, há infinitas soluções.

- Sistema Impossível e Indeterminado ou Incompatível:
a/a=b/b'≠c/c'
Representa duas retas paralelas e distintas, não há nenhum ponto solução do sistema.

Quadro:


8. Eliminação de Gauss
Processo de eliminação que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma escalonada reduzida por linhas.
Mais uma vez trata-se das propriedades do Teorema de Tales já estudado, o sitema linear de equações  será escalonado, ou seja, eliminar uma incógnita na segunda equação, duas na terceira até chegar na última equação que terá apenas uma incógnita.
Operações elementares com sistema de equações lineares:
- Troca de equações no sistema (equivale a linha de uma matriz).
- Multiplicação ou divisão dos coeficientes de uma equação por uma número real diferente de zero.
- Substituição de uma equação pela soma ou subtração de outras equações (sempre termo a termo).
Exemplo:


Obs: As combinações lineares são feitas apartir da 1ª equação com todas as debaixo, a 2ª equação com todas as debaixo e assim sucessivamente. L1 com L2 e substitui L2, L1 e L3 e substitui L3, L2 (nova) e  L3 (nova) substiui de novo L3.

Referências:
STEWART, James. Antonio Carlos Moretti. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2012. BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear. São Paulo: Harba, 1980. AGUIRRE, Luiz Antonio. Introdução À Identificação de Sistemas . Minas Gerais: UFMG, 2007.