Algebra II


Assim como usamos as letras para compor uma palavra, utilizamos os algarismos para compor os números. Gramaticalmente o número é uma classe de palavras que é utilizada para identificar uma quantidade, ordem, posição, etc, de uma coisa. Exemplo: 1º, 10, cinco, VII, etc.
Matematicamente o número é utilizado para contar a quantidade de elementos de um conjunto, indicar uma fração ou fornecer o resultado de uma operação.
Os números arábicos são formados pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Um número é composto por unidades, dezenas e casas decimais.
Unidade:
1
de 0 a 9
Dezena:
10
de 10 a 99 (99=101.9+100.9)
Centena:
100
de 100 a 999 (999=102.9+101.9+100.9)
Milhar:
1000
de 1.000 a 999.999 (999.999=105.9+104.9+103.9+102.9+101.9+100.9)
...
...
...

O sinal numérico pode ser positivo ou negativo. A casa decimal sempre se desloca para a direita quando multiplicamos por 10 (dez).
Números decimais variam de 0,1 a 0,9 (considerando apenas uma cada decimal), o zero desloca-se para esqueda a cada divisão por 10 (dez) (a vírgula desloca-se um décimo para a esquerda).
décimo:
0,1
de 0 a 0,9
centésimio:
0,01
de 0,01 a 0,09
milésimo:
0,001
de 0,001 a 0,009
...
...
...
1. Tipo de Números
Devemos escolher o tipo de número mais adequada para a resolução de uma tarefa que propomos resolver. A fonte das letras que representam os conjuntos numéricos são geralmente do tipo OUTLINE  maiúsculas.

Sinais:
*:  asterisco significa sem o zero.
+: sinal de mais significa números positivos.
-: sinal de menos significa números negativos.
1.1. Números Naturais
É o mais comum, são números inteiros positivos. Um número é inteiro porque não é fracionário.
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} 
ℕ* = {1, 2, 3, ...} 
1.2. Números Inteiros
São números que não tem parte fracionária, são positivos ou negativos.
ℤ = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
ℤ* = {... ,-3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
- = {... ,-3, -2, -1, 0} 
1.3. Número Racional (ℚ)
É o conjunto formado pelos números inteiros e os fracionários. Sendo que os números fracionários é um quociente entre números inteiros com divisor diferente de zero.
Números fracionários
São número apresentados na forma de divisão, o número de cima chama numerador e o de baixo denominador.
Exemplo: 5/2

Os números fracionários podem ser dizímas finitas e dizímas infinitas periódicas.
As dízimas infinitas não periódicas são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.
Existem três tipos de dízimas:
- Dízima finita: 0,6
- Dízima infinita
Periódica: 0,33333… ou 1/3
Não periódica: 0,612547895…
ℚ: {b∈ ℤ e c∈ℤ*/ q = b/c=> q∈ℚ}

1.4. Números Irracionais (I)
São as dízimas infinitas não periódicas e os números cuja raizes não são exatas.
- Dízimas infinitas não periódicas: são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.
- Raízes não exatas: se o número na, com n∈ ℕ* e a∈ ℕ, não é inteiro, então esse número é irracional.
- A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
- A diferença entre um número racional com um número irracional é um número irracional.
- O produto entre um número racional, diferente de zero, com um número irracional é um número irracional.
- O quociente entre um número racional com um número irracional é um número irracional.
Exemplos:
2 = 1,4142136...
π = 1,7724538...
3 = 1,7320508...
35 = 1,7099759...
0,612547895…

1.4.1. Tipos Números Irracionais
- Irracional algébrico: quando satisfaz uma equação algébrica de coeficientes inteiros.
Exemplo: √2 = x => x² = 2
- Irracional transcedente: quando não for algébrico.
Exemplos:
π = 3,14159265358979323846…
e = 2,718281...

1.5. Número primo
(ℙ)
É o número maior que 1 (um) e divisível apenas por 1 (um) e por ele mesmo.
ℙ={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}
Repare que 2 é o único número primo par.

1.6. Número Par e Número Ímpar
Um número é par quando o mesmo for dividido 2 (dois) e o resto for igual a zero (0).
Um número é Ímpar quando o mesmo for dividido por 2 (dois) e o resto for igual a 1 (um). Para melhor compreenção é melhor escrever um número como uma soma de casas decimais, exempo:
2501=> 2000+500+1
1011=> 1000+10+1
608=> 600+8
Ou seja, a parcela da unidade que compoem o número indicará se o mesmo é par ou impar.
Um numero é para se tiver como unidade os números pares: 0, 2, 4 ou 8.
Um numero é ímpar se tiver como unidade os números ímpares: 1, 3, 5, 7 ou 9.

1.6.1. Somatoria de Números Ímpares
A soma dos n primeiros números naturais ímpares é o n-ésimo quadrado perfeito.
Seja a sequencia dos número ímpares (a1,a2,a3,a4,...,an).
(1+3+5+7+...+ (2n-3) + (2n-1) = n2

Repare que k começa com 1 e vai até n e an é o número ímpar:
k=1=> a1=2k-1=> a1=1=> ∑=1
k=2=> a2=2k-1=> a2=3=> ∑=1+3=4
k=3=> a3=2k-1=> a3=5=> ∑=1+3+5=9
k=4=> a4=2k-1=> a4=7=> ∑=1+3+5+7=16
k=5=> a5=2k-1=> a5=9=> ∑=1+3+5+7+9=25
...
k=n=> an=2n-1=> an= ? => ∑=1+3+5+7+9+...+an-1+an

Seja n o último, no caso em questão é 5:
∑=2n-9+2n-7+2n-5+2n-3+2n-1
Existem n vezes 2n, ou seja: 2n²
∑=2n² - (9+7+5+3+1)
Repare que: ∑=9+7+5+3+1
2n²-∑=∑
2n²=2∑
∑=n²


1.7. Números Complexos (ℂ)
O conjunto dos números complexos abrangem os números naturais, inteiros, racionais, irracionais e números reais.
São representados por um par ordenado (x,y) de números reais. O segundo número é multiplicado por √-1, que é comumente representado pela letra i.
Fórmula algébrica:
z=x+yi
i= -1
1.7.1. Unidade Imaginária
∀x∈ℝ=>x²≥0
z∈ℂ=>∃z | z²≤0
Exemplo: z=5i => z²=5².i²= -25

i²=-1 => i = √-1, corresponde ao par ordenado (0,1) que algebricamente equivale a z= 0+1i =>  z=i.

1.7.2. Igualdade
z1=z2 => x1=x2, e y1=y2

1.7.3. Operações
z1=x1+y1i => z1=(x1,y1)
z2=x2+y2i => z2=(x2,y2)
O número complexo na forma algébrica, z=x+yi, admite todas as operações em reais, substituindo i²=-1 quando necessário.

1.7.3.1. Soma de Númros Complexos
z = z1 + z2
z = (x1+x2) + (y1+y2)i

1.7.3.2. Subtração de Números Complexos
z = z1 - z2
z = (x1-x2) + (y1-y2)i

1.7.3.3. Multiplicação

1.7.3.4. Divisão



1.7.4. Conjugado
Seja z=x+yi um número complexo, o seu conjugado é indicado por z=x-yi.
Propriedades do Conjugado:
Seja z=x+yi e z=x-yi
- A soma de dois números complexos conjugados é sempre um número real:
z+z = 2x
- O produto de dois números complexos conjugados é sempre um número positivo.
Pela fórmula do produto:
z.z = (x²+y²)+(-xy+xy)i =
z.z = (x²+y²) ≥ 0
- O conjugado do conjugado é o próprio número complexo.
- O conjudo do produto é igual ao produto dos conjugados.
z1.z2 = z1.z2
Demonstração:
z1.z2
= (x1.x2-y1.y2)+(x1.y2+y1.x2)i
z1.z2 = (x1.x2-y1.y2)-(x1.y2+y1.x2)i
z1.z2 = (x1.x2-y1.y2)-(-x1.y2-y1.x2)i = (x1.x2-y1.y2)-(x1.y2+y1.x2)i

1.7.5. Potência de Números Complexos
Procede-se da mesma forma que a potência cuja base é número real e seu expoente é número natural. Ou seja, a potência corresponte a multiplicação da base tantas vezes quanto ao número do expoente.
(x+yi)n = (x+yi)1.(x+yi)1. ... . (x+yi)1= (x+yi)(1+1+...+1)
n= 1+1+...+1
n∈ℕ
i0=1
i1=i
i2=-1
i3=i2.i1=-i
i4=i2.i2=1
Para n ≥ 4
i4q=i(4+4+...) = 1
q=(4+4+...) e q∈ℕ*
n 4
r
q
in = iq.ir=ir
q∈ℕ*, n∈ℕ e r∈ℕ*
Ou seja, q é divisível por 4.
Exemplos:
i5=i4.i1= i
i6=i4.i2= -1
i7=i4.i3= -i
i8=i4.i4= 1
i9=i8.i1= i
i10=i8.i2= -1
i11=i8.i3= -i
i12=i12.i0= 1

2. Somatória de Potências com Expoentes Crescentes
Faremos uma somatória de uma sequencia de potências com uma mesma base real diferente de 1 (um) elevadas ao um expoente natural cescente.


Obs: Ao multiplicar a sequencia por (a) a nova sequencia se deslocará um termo a frente. Ao multiplicar a sequencia por (-) a nova sequencia será inversa da original, como resultado sobrará apenas o primeiro termo e o último termo das multiplicações.

Repare que:


3. Binômio de Newton
Teorema do Desenvolvimento Binomial
Na demonstração deste teorema será utilizado as seguintes igualdades (a, b e c).
Para n∈ℕ e todos k∈ℕo com 0 ≤ k ≤ n valem:
o: para grupos de aplicações bijetoras.
Simplificação do Binômio


Binômios Iguais



Soma Binomial

Repare que:
k= 0, 1, 2, 3, ..., n.
Se k=n então n!=n(n-1).(n-2). ... (n-k+1).(n-k)!
(n-k+1)! = 1!=1
(n-k)!=0!=1

3.1. Binômio de Newton
Teorema do Desenvolvimento Binomial

Compreendendo as fórmulas a, b e c podemos desmonstrar o teorema do desenvolvimento binomial.


3.2. Triângulo de Pascal
Cada número binomial é formado por um numerador e um denominador. Dispondo os numeros binomiais com mesmo numerador em linha e com ordem crescente e mesmo denominador em coluna e com ordem crescente. A cada nova linha diminui uma coluna.
Cada binômio do triângulo de pascal corresponde a um coeficiente da fórmula do teorema do deenvolvimento binomial.

Cada binômio do triângulo de pascal corresponde a um coeficiente da fórmula do teorema do denvolvimento binomial.

Vejamos como fica o triângulo de pascal em uma tabela: (linha coluna)

col.:0
col.:1
col.:2
col.:3
col.:4
col.:5
...
col.:n
linha 0:
(00)=1







linha:1
(10)=1 (11)=1





linha: 2
(20)=1 (21)=2 (22)=1




linha: 3
(30)=1 (31)=3 (32)=3 (33)=1



linha: 4
(40)=1 (41)=4 (42)=6 (43)=4 (44)=1


linha: 5
(50)=1 (51)=5 (52)=10 (53)=10 (54)=5 (55)=1

...
...
...
...
...
...
...
...

linha: k ...
(nk) ...
...
...
...
(  nn-k) 1
Observando os valores podemos afirmar que:
Em uma mesma linha dois binômios equidistantes dos extremos opostos são iguais. Ou seja: (nk)=(  nn-k) =  n!       k!(n-k)!   
(n0)=(nn)=1
(n1)=(  nn-1)=n
(n2)=(  nn-2)= n(n-1)2   

Tabelando apenas os coeficiente:
1






1 1




1 2 1



1 3 3 1


1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1
...
...
...
...
...
...
...









  nn