Polinômios

1. Preâmbulo
Polinômios são expressões algébricas compostas pela soma ou subtração de termos ou monônios.

O termo ou monômio é constituido por um coeficiente numérico complexo multiplicado por uma ou mais letras chamadas de incógnitas. Cada letra possui um expoente numérico.  O grau de um polinômio com apenas uma letra por termo é o maior expoente dentre os termos. O grau de um polinômio com mais de uma letra por termo  é a maior soma dos expoentes de um mesmo termo. Um polinômio pode ser uma equação ou uma função, conforme relação de igualdade entre incógnitas ou de dependencia entre variáveis. A incógnita e a variável representam um número.
É comum encontrarmos definição de polinômio abrangendo apenas os números reais, pois assim, facilita as demonstrações de seus teoremas. Devemos entender que o resultado de uma operação com números reais pode fornecer um número complexo.

Expressão algébrica:
a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn
n∈ℕ: expoente, (1, 2, 3, ..., n).
x: literal
an∈ℂ: coeficiente
n
Σai=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn
i=0

Para x=1=> soma dos coeficientes
x: pode ser um número  ℕ, ℤ,  ℚ, I ou ℂ.
Como se verá mais a frente um polinômio possue a mesma propriedade da decomposição de um número em fatores primos, tal propriedade permite formular o Teorema Fundamental da Algebra bem como o Teorema da Decomposição em Fatores de 1ºGrau.
1.1. Números Complexos
A raiz de uma equação polinomial pode ser um número complexos, então vejamos um pouco sobre ele.
O conjunto dos números complexos abrangem também os números naturais, inteiros, racionais, irracionais e números reais, pois é exatamente através de operações com tais números que pode resultar em um número complexo.

Sinais:
*:  asterisco significa sem o zero.
+: sinal de mais significa números positivos.
-: sinal de menos significa números negativos.
 
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} 
ℕ* = {1, 2, 3, ...} 
ℤ = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
ℤ* = {... ,-3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
- = {... ,-3, -2, -1, 0} 
ℚ: {b∈ ℤ e c∈ℤ*/ q = b/c => q∈ℚ}
Números racionais (ℚ)
É o conjunto formado pelos números inteiros e os fracionários. Sendo que os números fracionários é um quociente entre números inteiros com divisor diferente de zero.
Números fracionários: são número apresentados na forma de divisão, o número de cima chama numerador e o de baixo denominador. Exemplo: 5/2
Os números fracionários podem ser dizímas finitas e dizímas infinitas periódicas.
As dízimas infinitas não periódicas são números irracionais, ou seja, não podem ser representadas na forma de fração.
Existem três tipos de dízimas:
- Dízima finita: 0,6
- Dízima infinita
Periódica: 0,33333… ou 1/3
Não periódica: 0,612547895…

Números Complexos (ℂ)
São representados por um par ordenado (x,y) de números reais. O segundo número é multiplicado por √-1, que é comumente representado pela letra i.
Fórmula algébrica:
z=x+yi
i= -1

1.1.1. Unidade Imaginária
∀x∈ℝ=>x²≥0
z∈ℂ=>∃z | z²≤0
Exemplo: z=5i => z²=5².i²= -25

i²=-1 => i = √-1, corresponde ao par ordenado (0,1) que algebricamente equivale a z= 0+1i =>  z=i.

1.1.2. Igualdade
z1=x1+y1i e z2=x2+y2i
z1=z2 => x1=x2, e y1=y2

1.1.3. Operações
z1=x1+y1i => z1=(x1,y1)
z2=x2+y2i => z2=(x2,y2)
O número complexo na forma algébrica, z=x+yi, admite todas as operações em reais, substituindo i²=-1 quando necessário.

1.1.3.1. Soma de Númros Complexos
z = z1 + z2
z = (x1+x2) + (y1+y2)i

1.1.3.2. Subtração de Números Complexos
z = z1 - z2
z = (x1-x2) + (y1-y2)i

1.1.3.3. Multiplicação

1.1.3.4. Divisão



1.1.4. Conjugado
Seja z=x+yi um número complexo, o seu conjugado é indicado por z=x-yi.
Propriedades do Conjugado:
Seja z=x+yi e z=x-yi
- A soma de dois números complexos conjugados é sempre um número real:
z+z = 2x
- O produto de dois números complexos conjugados é sempre um número positivo.
Pela fórmula do produto:
z.z = (x²+y²)+(-xy+xy)i =
z.z = (x²+y²) ≥ 0 ou z.z=|z|²
-Módulo de z: |z|= x²+y²
- O conjugado do conjugado é o próprio número complexo.
- O conjudo do produto é igual ao produto dos conjugados.
z1.z2 = z1.z2
Demonstração:
z1.z2
= (x1.x2-y1.y2)+(x1.y2+y1.x2)i
z1.z2 = (x1.x2-y1.y2)-(x1.y2+y1.x2)i
z1.z2 = (x1.x2-y1.y2)-(-x1.y2-y1.x2)i = (x1.x2-y1.y2)-(x1.y2+y1.x2)i

1.2. Grau do Polinômio

Para encontrar o grau de um polinômio deve-se somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio.
Exemplos:
1) 2x³ + y
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Portanto, o grau do polinômio é 3.
2) 4x²y + 8x³y³ - xy³
Somar os expoentes de cada termo:
4x²y = 2 + 1 = 3
8x³y³ = 3 + 3 = 6
xy³ = 1 + 3 = 4
Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6

É comum representar um polinômio por P(x).
Exemplos de monômios:
P(x)=4x², P(x)=2ab², P(x)=3a², etc.
Exemplo de polinômios:
P(x)=4x²+x, P(x)=(a+b)², etc.

Binômio: possui dois monômios ou termos.
Trinômio: possui três monômios ou termos.
Polinômio: possui mais de três termos.

Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.

2. Fatoração de Polinômios
Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos:
- Fator Comum em Evidência
(a1x2+a2x2)=x2(a1+a2)
Exemplo:
4x + 20 = 4 (x + 5)
- Agrupamento
1) a1x2+a2x2 + a1y3+a2y3 = x2(a1+a2)+y3(a1+a2) = (x2+y3)(a1+a2)
2) ax+bx+ay+by = x.(a+b)+y.(a+b) = (x+y).(a+b)
Exemplo:
8ax+bx+8ay+by = x(8a+b)+y(8a+b) = (8a+b).(x+y)

3. A função polinomial
Uma função polinomial com coeficientes complexos na variável x é uma função matemática f:ℂ→ℂ definida por:
f(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn

Onde a0, a1, a2, a3+⋯+an são números complexos, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a0, é o termo constante ou independente.

É mais prático utilizar funções polinomiais definidas apenas no universo dos números reais, inclusive para demonstração de seus Teoremas.

3.1. Função Exponencial
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
As funções de 1º grau (reta) e 2º grau (parábola) são funções polinomiais.

A função exponencial cuja base é o número de Napier é igual a somatória com infinitos termos contendo a potências de x:



Vejamos uma expressão parecida com o cálculo de juros compostos:
Cn= (1+1/n)n
n=1=> C1= 2
n=10=> C10 = 2,59374
n=100=> C100 = 2,70581
n=1000=> C200 = 2,71693
n=2000=> C2000 = 2,71760
n=5000=> C5000 = 2,71801
n=10000=> C10000 = 2,71814
n=2000=> C2000 = 2,71821

3.2. Função Exponencial de Euler
John Napier (1550-1617, foi um matemático escocês, inventor dos LOGARITMOS, o primeiro a utilizar o número e. No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) efetua pequena correção no número e de Napier que é utilizado como base de função exponencial.
f(x)=ex
ex = 1+x1+x2/2!+x3/3!+...
e2 = 20+21+22/2!+23/3!+24/4!+... = 1+2+2+1,3+0,7+0,26+...= 7,26+...

4. Equação Polinomial
Equações e funções possuem a mesma fórmula, o que as diferenciam são as relações de igualdade para as equações e relação de dependência para as funções.
Fórmula:
a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=0
Coeficiente: an∈ℂ
Incógnita: x∈ℂ
(1, 2, 3, ...): expoente.

p(x)=0 => x é raiz da equação
a0: termo independente.
Raiz simples: x é raiz apenas uma única vez.
Raiz dupla: x é raiz duas vezes.
Raiz tripla: x é raiz três vezes.

Todo polinômio tem um número par de raizes complexas (o número complexo e o seu conjugado).
Polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz real.
Polinômio de grau ímpar possui quantidade ímpar de raizes reais.
Polinômio com grau par poderá não ter raizes reais, mas se as tiver será em quantidade par.
A quantidade de raizes reais tem a mesma quantidade do grau do polinômio. Como se verá mais a frente sobre o Teorema da Decomposição em Fatores de 1º Grau, o número de fatores é igual ao grau do polinômio.

Teorema das Raizes Racionais
a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=0
Se P(x)=0 e x= b/c | a0 é divisível por b e an é divisível por c.
b: é um fator inteiro do termo constante a0 ou a0 é divisível por b
c: é um fator inteiro do termo constante an ou an é divisível por c.
n∈ℕ: expoente
xn: literal
an∈ℝ: coeficiente
ℚ: {b∈ ℤ e c∈ℤ*/ q = b/c => q∈ℚ}
mdc(b,c)=1, ou seja,primo entre si.

- Caso o polinômio tenha raizes o teorema permite identificar todas as raizes da equação.
- Se an = 1 e os outros coeficientes sejam todos inteiros, a equação possui apenas raizes inteiras.
- Raiz racional com denominador igual a 1 (um) é número inteiro e divisor de a0.

Obs:
Uma função possui uma relação entre uma variável independente e uma variável dependente.
Uma equação possui uma relação de igualdade e uma inequação uma relação de desigualdade.
Um polinômio pode possuir as relações citadas acima mais uma relação intrinseca a si mesmo que é a de efetuar operação de  soma, subtração, multiplicação e divisão por outro polinômio ou monômio.
Portanto um polinômio pode ser além de uma expressão algébrica, uma função ou uma equação.
4.1. Produtos Notáveis
- Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)
(x+y)2 = x2+2xy+y2
- Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)
(x-y)2 = x2-2xy+y2
- Diferença de Dois Quadrados
x2-y2 = (x-y)(x+y)
x4-y4 =(x2)2-(y2)2 = (x2-y2)(x2+y2)
...
- Cubo Perfeito (Adição)
(x+y)3 = x3+3x2y+3xy2+y3
- Cubo Perfeito (Diferença)
(x-y)3 = x3-3x2y+3xy2-y3

5. Divisão de Polinômio
A divisão de polinômios possui as mesmas denominações da divisão entre números.

A divisão de monômios é a base para a divisão de polinômios.

Caracteristicas:
- O resto, r(x) é zero ou tem grau zero (menor que o grau do divisor).
- Para x=1 => p(x)=(a0+a1+a2+a3+⋯+an) ou p(x) =

5.1. Método das Chaves
1º) Ordenar o dividento p(x) e o divisor d(x) em ordem decrescente dos expoentes de seus termos.
2º) Dividir o termo de maior grau dividento, 2x5, pelo termo de maior grau do divisor, 2x2. O resultado será o primeiro termo do quociente, x3.
  2x5- 7x4+3x3+5x 2x2- x
 -2x5
x3

3º) Fazer a operação inversa, multiplicar o quociente pelos termos do divisor com sinais trocados. => -x3(2x2- x)=-2x5+ x4

Colocar o resultado embaixo do dividendo e fazer a soma, o resultado será o resto parcial
repetir toda a operação até que o grau do resto parcial seja menor que o grau do divisor.
 2x5- 7x4+3x3+5x 2x2- x

-2x5+ x4  


  

     -6x4+3x3+5x

x3

4º) Dividir o termo de maior grau do reto parcial, -6x4, pelo termo de maior grau do divisor, 2x2. O resultado será o segundo termo do quociente, -3x2.
2x5- 7x4+3x3+5x 2x2- x

-2x5+ x4   


 

     -6x4+3x3+5x

x3 - 3x2

5º) Fazer a operação inversa novamente, multiplicar o quociente pelos termos do divisor com sinais trocados. => 3x2(2x2- x) = 6x4- 3x2

Colocar o resultado embaixo do resto parcial e fazer a soma, o resultado será um novo resto parcial, como o grau do resto parcial é menor que o grau do divisor pode para as operações.
2x5- 7x4+3x3+5x 2x2- x

-2x5+ x4    


 

     -6x4+3x3+5x



    +6x4 - 3x2         



                    5x

x3 - 3x2  
Portanto
Dividendo: 2x5- 7x4+3x3+5x
Divisor: 2x2- x
Quociente: x3 - 3x2
Resto: 5x 

5.2. Divisão de Polinômio por um Binômio de 1º Grau
p(x)
(x-c)

r(x)


q(x)  
Teorema do Resto:
O resto da divisão de um polinômio por um binômio do 1º grau é o valor numérico que o polinômio assume quando a incógnita (letra) é substituida pela raiz do divisor.x-c=0 => x=c => p(c)=r(x)
Se p(c)=0 então r(x)=0, c também é raiz de p(x).

Demonstração:
anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+an-4xn-4+...+a1x1+ a0 x-c

-anxn+ c.anxn-1


                                                      
(c.an+an-1)xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+an-4xn-4+...+a1x1+a0  = RESTO 1




-(c.an+an-1+)xn-1+(c².an+c.an-1)xn-2                                 


(c².an+c.an-1+an-2)xn-2 +an-3xn-3+an-4xn-4+...+a1x1+ a0  = RESTO 2

-(c².an+c.an-1+an-2)xn-2 +(c³.an+c².an-1+c.an-2)xn-3   



(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-3 +an-4xn-4...+a1x1+ a0      = RESTO 3

-(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-3+ (c4.an+c³.an-1+c².an-2+c.an-3)xn-4













(c4.an+c3.an-1+c2.an-2+c.an-3+an-4)xn-4+...+a1x1+a0         = RESTO 4

...
(cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+c1.a1+ a0)xn-n = Resto Enésimo
anxn-1+(c.an+an-1)xn-2+(c².an+c.an-1+an-2)xn-3+(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-4 +...+a1

Portanto:
p(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a1x1+ a0
d(x)=(x-c)
q(x)=anxn-1+(c.an+an-1)xn-2+(c².an+c.an-1+an-2)xn-3+(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-4 +...+a1
r(x)=(cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+a1+a0)

Último resto:
É a somatória dos coeficientes
(cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+c1.a1+ a0)xn-n
cn-n=1,  xn-n=1 e an-n = a0
(cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+a0)
que é igual quando substituir x no polinômio.
p(x) = anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a1x1+ a0
Para x=c => p(x)=resto

Resumo:
anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a1x1+ a0                   (x-c)

cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+c1.a1+ a0

  anxn-1+(c.an+an-1)xn-2+(c².an+c.an-1+an-2)xn-3+(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-4 +...+a1

5.2.1. Binômio do tipo (ax-c), a≠0
A regra é idêntica a anterior. Então utilizar direto o Teorema do Resto.
P(x)
(ax-c)

R(x)


Q(x)  
ax-c=0=> x=c/a
R(x)=P(c/a)

5.3. Teorema da Decomposição em Fatores de 1º Grau

O Teorema da Decomposição em Fatores de 1º Grau decorre da aplicação sucessiva do teorema do resto já que fatores de 1º grau são binômios. Isso acontece porque no teorema da decomposição a raiz de cada binômio é também raiz do proprio polinômio por definição, com isso, a divisão é exata e o resto é 0 (zero).
Seja p(x) um polinômio de grau n ≥ 1:
P(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn

O polinômio P(x) pode ser decomposto em um produto de fatores do 1º grau no formato (x-cn) onde cn são as raizes do polinômio e dos binômios:
p(x)=an.(x-c1).(x-c2). ... .(x-cn)
a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn<=>an.(x-c1).(x-c2). ... .(x-cn)
p(cn)=0 => (c1, c2, ... , cn) são raizes de P(x) e (x1-cn)
Cada raiz é uma solução individual para a equação, uma raiz por vez.

Fatores Primos
Consiste na divisão sucessiva de um número apartir do divisor 2 (dois). Não são os divisores de um número.
Vejamos a decomposição em fatores primos do número 60:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1



 2.2.3.5 
Após aplicar uma divisão sucessivamente sempre obter-se-á o último fator igual a 1 (um). O número fatorado é igual ao produto dos fatores pela própria definição de fatoração.
60=2.2.3.5

Demonstração
Pelo Teorema do Resto:
p(x)
(x-c)

p(c)

q(x)  
p(c)=0
p(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a1x1+ a0
d(x)=(x-c) => x-c=0 => x=c (raiz do divisor)
q(x)=anxn-1+(c.an+an-1)xn-2+(c².an+c.an-1+an-2)xn-3+(c³.an+c².an-1+c.an-2+an-3)xn-4 +...+a1
p(c)=(cn.an+cn-1.an-1+cn-2.an-2+cn-3.an-3+...+a0)

Pelo próprio teorema da decomposição c além de raiz do divisor é também raiz do próprio polinômio. Com isso, seu resto é igual a zero.
p(x)=an.(x-c1).(x-c2). ... .(x-cn)
d(x)=(x-c1), (x-c2), (x-c3). ... .(x-cn)
p(cn)=0 => raizes=(c1, c2, ... , cn)
Resta provar que q(x)=an
Se p(x)=d(x) => q(x)=1 e r(x)=0

Obs:
n: (0, 1, 2 , 3, ... , n)
c: (c1, c2, c3, ... , cn)
x: (x0, x1, x2, x3, ... , xn)
a: (a1, a2, a3, ... , an)

Para polinômio de grau 2 temos:
n=2, a2x2+a1x1+a0x0 e P(x)=a2(x-c1)(x-c2).

a2x2+a1x1+a0x0
(x-c1)

-a2x2+c1.a2x1


(c1.a2+a1)x1+a0x0

a2x1+(c1.a2+a1)x0

a2x1+(c1.a2+a1)x0 (x-c2)

-a2x1+c2.a2


(c1.a2+c2.a2a1)+a0x0

a2

Pela Teorema do Resto, como c1 e c2 são raizes, logo o resto da divisão por (x-c1) e (x-c2) são zeros, ou seja,  A DIVISÃO É EXATA. Por conseguinte o polinômio é o produto do quociente a2 pelos divisores (x-c1) e (x-c2).
P(x)=a2(x-c1)(x-c2)

Para polinômio de grau 3 temos:
n=3, a3x3+a2x2+a1x1+a0x0 e P(x)=a3(x-c1)(x-c2)(x-c3).

a3x3+a2x2+a1x1+a0x0
(x-c1)

-a3x3+c1.a3x2   


(c1.a3+a2)x2+a1x1

-(c1.a3+a2)x2+c1.(c1.a3+a2)x1


[(c1².a3+c1.a2)+a1]x1+a0x0

a3x2+(c1.a3+a2)x1+[(c1².a3+c1.a2)+a1]

a3x2+(c1.a3+a2)x1+[(c1².a3+c1.a2)+a1] (x-c2)

-a3x2+c2.a3x1  


 (c1.a3+a2+c2.a3)x1

a3x1+(c1.a3+a2+c2.a3)

a3x1+(c1.a3+a2+c2.a3) (x-c3)

-a3x1+c3.a3


(c1.a3+a2+c2.a3+c3.a3)

a3

Pela Teorema do Resto, como c1, c2 e c2 são raizes, logo o resto da divisão por (x-c1), (x-c2) e (x-c3) são zeros, ou seja,  A DIVISÃO É EXATA. Por conseguinte o polinômio é o produto do quociente a3 pelos divisores (x-c1), (x-c2) e (x-c3).
P(x)=a3(x-c1)(x-c2)(x-c3)

Para polinômio de grau n temos:
n=1,2, ..., n
P(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+an-3xn-3+...+a1x1+ a0
Seguindo o mesmo raciocínio:
Teorema da Decomposição em Fatores de 1º Grau:
P(x)=an.(x-c1).(x-c2). ... .(x-cn)

A quantidade de raizes complexas tem a mesma quantidade do grau do polinômio, pois o número de fatores é igual ao grau do polinômio.
Teorema Fundamental da Álgebra:
Toda equação algébrica P(x)=0, de grau n≥1, possui pelo menos 1 (uma) raiz complexa.
Toda equação algébrica P(x)=0, de grau n≥1, possui exatamente n raízes complexas.
Obs: n≥1 é o mesmo que n>0.

Construção de um Polinômio

Após transformar um número em produto de fatores primos é só aplicar o Teorema da Decomposição em Fatores de 1º Grau.
Exemplo para o número 60:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1



 2.2.3.5 
Um dos fatores é o coeficiente enésimo e os demais fatores são as raizes do polinômio.
Escolher então an=2, c1=2, c2=3 e c3=5.
x=2=> x-2=0
x=3=> x-3=0
x=5=> x-5=0

P(x)=2(x-2)(x-3)(x-5)
Simplicicação: 2.0=0.
P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)
P(x)=x³-10x²+31x-30
x³-10x²+31x-30
(x-2)(x-3)(x-5)


0
 1
P(2)=0.

Observações:
- Repare que P(2)=P(3)=P(5)=0

- Se escolher an=3, c1=2, c2=2 e c3=5.
Então: P(x)=3(x-2)(x-2)(x-5) => P(x)=x³-9x²+24x-20

- Se escolher an=5, c1=2, c2=2 e c3=3.
Então: P(x)=5(x-2)(x-2)(x-3) =5(x³-7x+16x-12)
Simplificação: 5.0=0
P(x)=x³-7x+16x-12

- Se considerarmos que 1 (um) é o último fator, teremos:
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1



 1.2.2.3.5 
Se escolher an=1, c1=2, c2=2, c3=3 e c4=5.
Então: P(x)=(x-2)(x-2)(x-3)(x-5) => P(x)=x4-12x3+51x2-92x+60
Dessa forma não precisa simplificar.
P(2)=P(3)=P(5)=0
Percebe-se que o termo independente, 60, é igual ao próprio número.

- Se escolher an=2.2=4, c1=3 e c2=5.
Então: P(x)=4(x-3)(x-5) => P(x)=x2-8x+15
P(3)=P(5)=0

Ou seja, o coeficiente an pode ser um fator ou uma multiplicação de fatores e os fatores restantes serão as raizes da equação. Logicamente se an for a multiplicação de todos os fatores, não existerá incógnita e consequentemente não existirá polinômio, e sim um número puro. A escolha de an serve para reduzir o grau do polinômio.

Teorema de D'Alembert
Um polinômio P(x) será divisível por (x-c), ou seja, o resto da divisão será igual à zero, se P(c)=0.
Considera-se o Teorema do Resto, resto=P(c).


Aprendizado:
Decorar teorema não significa seu entendimento, é preciso desenvolvê-lo de forma mais simples possível.