Derivada


1. Taxa de Variação Média
Dada uma função y=f(x), e fixado um valor x do domínio de f, consideramos um acréscimo Δx, positivo ou negativo, de modo que o intervalo [x,x+Δx ], se Δx>0, ou [x+Δx , x] se Δx<0, esteja inteiramente contido no domínio da função; calculamos então o quociente:
Tal quociente fornece a taxa de variação média da função f no referido intervalo.

2. Taxa de Variação Instantânea
A seguir, calculamos a taxa de variação pontual de f no ponto x utilizando oconceito de limites.

A derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x) em um determinado ponto P=(x0, f(x0)).
Repare na figura abaixo, seja x0 no ponto A e x no ponto B, quando x → xo ponto D → C
Quando quando x → xé o mesmo que Δx → 0
Obs: eixo-x: ...xo...x...

Definição:

Chamamos de derivada da função y=f(x) no ponto xo, ao limite da taxa de variação média quando Δx → 0, se tal limite existe. Ou chamamos f'(xo) de taxa de variação da função no ponto xo ou ainda f'(xo) é a taxa de variação instantânea da grandeza y em relação à grandeza x.

Desse modo, a derivada da função em um x pode ser entendida como sendo a taxa de variação no ponto x ou taxa instantânea de variação.
Fórmula:

Obs: eixo-x: ...x...x+Δx...

Repare na figura abaixo, seja x0 no ponto A e x no ponto B, quando x → xo ponto D → C




Reiniciar

α: é o ângulo da reta secante d
β: é o ângulo da reta tangente

Quando Δx→0  α→β, portanto:

tgβ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico que é igual a derivada da função no ponto de tangencia.


3. Revisão da equação da reta

Considere ax + by + c = 0 como sendo a equação geral de uma reta não vertical. Isolando y na equação geral obtemos:

Fazendo

Temos
y = mx + q → que é a equação reduzida da reta.


m = tgα, em que α é o ângulo formado entre a reta e o eixo x.
m é chamado de coeficiente angular da reta ou declividade da reta.
q é chamado de coeficiente linear da reta e é o ponto onde a reta corta o eixo x.

Exemplo1. Determine a equação reduzida da reta t que forma um ângulo de 135º com o eixo das abscissas e que passa pelo ponto P(4, 5).
Solução: Sabemos que α = 135º e que a equação reduzida da reta é da forma y = mx + q. Assim, temos que:

m = tg 135º = – 1

Como a reta t passa pelo ponto P, obtemos:

5 = -1*4 + q
q = 5 + 4 = 9

Portanto, a equação reduzida da reta t é y = – x + 9.

4. Tabela

 
5. Aplicação da Derivada
Interpretação cinemática da derivada.