Derivada

Preâmbulo
Revisão da equação da reta

Considere ax + by + c = 0 como sendo a equação geral de uma reta não vertical. Isolando y na equação geral obtemos:

Fazendo

Temos
y = mx + q → que é a equação reduzida da reta.

m=tgα, em que α é o ângulo formado entre a reta e o eixo x.
m é chamado de coeficiente angular da reta ou declividade da reta.
q é chamado de coeficiente linear da reta e é o ponto onde a reta corta o eixo x.

Exemplo1. Determine a equação reduzida da reta t que forma um ângulo de 135º com o eixo das abscissas e que passa pelo ponto P(4, 5).
Solução: Sabemos que α = 135º e que a equação reduzida da reta é da forma y = mx + q. Assim, temos que:

m=tg135º=– 1

Como a reta t passa pelo ponto P, obtemos:

5=-1*4+q
q=5+4=9

Portanto, a equação reduzida da reta t é y=–x+9.

1. Taxa de Variação Média
Dada uma função y=f(x), e fixado um valor xo do domínio de f, consideramos um acréscimo Δx, positivo ou negativo, de modo que o intervalo [xo,xo+Δx ], se Δx>0, ou [xo+Δx,xo] se Δx<0, esteja inteiramente contido no domínio da função.
A reta r é secante a curva C no ponto Po.


Calculamos então o quociente:

Tal quociente fornece a taxa de variação média da função no intervalo Δx.
Uma reta possui uma taxa de derivação média constante.
Δy: incremento de y.
Δx: incremento de x.

2. Taxa de Variação Instantânea ou Derivada da função no Ponto de Tangencia
A seguir, calculamos a taxa de variação pontual de f no ponto xo utilizando o conceito de limites. A reta r é tangente a curva C no ponto Po.


Definição:
Chamamos de derivada da função y=f(x) no ponto Po, ao limite da taxa de variação média quando Δx→0, se tal limite existe.
Fórmula:


A derivada é o coeficiente de inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função y=f(x) em um determinado ponto Po=(x0,f(x0)).

Uma reta possui uma taxa de derivação instantânea constante.
Repare na figura abaixo, seja x0 no ponto A e x no ponto B, quando x→xo ponto D→C


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α: é o ângulo da reta secante d.
β: é o ângulo da reta tangente.

Quando Δx→0  α→β, portanto:


tgβ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico que é igual a derivada ou taxa de variação instantânea da função no ponto de tangencia.
Exemplo:
Para uma função f(x)=2x²-4x+3 plotar a reta r tangente no ponto P(2,3).
Solução:

Exemplo:
Para a função f(x)=x³ plotar a reta r tangente no ponto P(-1,-1).
Solução:

Repare que f'(x)=3x², no ponto P x = -1 =>f'(-1)=3.(-1)²=3=a

2. Diferença entre Derivada Imediata e Derivada de Funções
A derivada imediata muitas vezes chamada apenas derivada é a derivada de uma função simples. A função simples é aquela cuja variável independente é um número representado por uma única letra e a variável dependente representada por uma função polinomial, função trigonométrica, função exponencial ou função logaritmica.
A derivada de funções como se verá mais a frente é a própria função que é a variável independente, ou seja, trata-se de funções compostas.
Exemplos funções simples:
y = x2 (função potência)
y = 3x (função exponencial)
y = x2+x+1 (função polinomial)
y = cos x (função cosseno)
y: variável dependente e x: variável independente.
É imediata porque refere-se a aplicação direta da fórmula da derivada na sua forma mais simples.
Exemplo de função composta: y=(x+1)3

3. Função Polinomial
Uma função é normalmente reconhecida pelo grau de sua variável independente, sendo assim, f(x)= ax+b é uma função do 1º grau porque a variável x tem expoente igual a 1. Da mesma forma, f(x)=ax²+bx+c é uma função do 2º grau porque o expoente da variável independente tem grau 2. Tais funções são comumente empregadas para o estudo de seus gráficos. Quando o foco do estudo é sua própria expressão matemática muda-se o conceito de função gráfica para função polinomial, embora estejamos tratando de uma mesma coisa. Cabe salietar que um polinômio nem sempre poderá ser empregado como uma função. O polinômio é mais genérico que a função polinomial.

A função polinomial é uma expressão algébrica que  utiliza os chamados termo do polinômio, um termo também é chamado de monômio.
Cada monômio ou termo é constituido por um número real chamado coeficiente multiplicado por um mesmo tipo de letra chamada variável independente que é elevada a um número inteiro positivo chamado expoente.
A letra de maior expoente indica o grau do polinômio. Uma função polinomial utiliza apenas um tipo de letra que é a sua variável independente.
Obs:
Função => relação de dependencia entre variáveis.
Equação => relação de igualdade entre incógnitas.
Polinômio => Somatória de termos.
Exemplo:
2x²: é um monômio de grau 2.
f(x)=2x²: é uma função polinomial de grau 2.
Exemplos:
f(x) = 5x3
f(x) = 5x3+3x2
5x3 é um monômio de grau 3.

Função Polinomial
Uma função polinomial tem coeficientes reais na variável x, é uma função matemática f:R→R definida por:
p(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn
onde a0, a1, a2, a3+⋯+an são números reais, denominados coeficientes do polinômio.
O expoente de cada termo é um número inteiro e não-negativo.

4. Derivada de Funções Reais Simples ou Derivada Imediata
Abrange a função polinomial e as funções elementares (trigonométrica, exponencial e logaritmica) ou seja, a variável independente é apenas um número representado por apenas uma variável.
A derivada de uma função f em um ponto de tangência foi definida no item 2, usando esse mesmo raciocínio para todos as variáveis do conjunto dominio da função obteremos uma nova função que é a derivada da função.
Função derivada é a função que retorna cada derivada da função no ponto de tangência.

Considerando um função f derivável em um intervalo aberto D. Se f é derivável em D, então para todo xo∈ℝ e D existe e é único o valor f '(xo).

4.1. Incremental
Para uma função y=f(x), quando acrescentamos um valor numérico a variável independente, x+Δx, gerará um valor acrescido a variável dependente f(x+Δx).
f(x)=y
f(x+Δx)=y+Δy
Δy = f(x+Δx)-f(x)
Δx: incremental da variável independente x.
Δy: incremental da variável dependente y.

4.2. Diferenciais
Na engenharia, física, etc, muitas vezes trabalham-se com valores numéricos muito pequeno, tais como 0,001 milímetros, que pode corresponder a precisão de um aparelho de medida. Então, esse incremental muito pequeno da variável independente chamamos de diferencial da variável x. Quando Δx é muito pequeno, ou seja Δx→0 então Δx=dx.


4.3. Derivada de uma função constante:

A função constante possui apenas um número que é uma constante. Não possui variável.
f(x) = k, k∈ => f'(x)=0


4.4. Derivada da Função Potência:
A função potência possui apenas uma variável independente que é a base da potência.
f(x) = xn, n∈ℵ* => f'(x)= nxn-1

Demonstração
:

Repare que
: f(x)=k.xn, k∈ℜ => f '(x)= n.k.xn-1

Divisão de Polinômio
: xo é raiz, um número, logo, não se divide porque não é incógnita.

Portanto: (xn-xon)=(x-xo)(xn-1+xo. xn-2+xo2. xn-3+...+xon-1)

Exemplo
:
f(x)=2x3 => f '(x)=3.2x3-1= 6x2

4.5. Derivada de Função Inversa
Seja f(x) = y uma função derivável em um intervalo aberto. A derivada da função inversa de f é igual ao inverso da sua derivada.

Resumo:
f: x → y, y' = Δy/Δx
f -: x → y-, (y-)' = 1/y' = Δx/Δy

Exemplo:

- Inverso da derivada: troca entre o numerador e o denominador.
- função inversa: troca de relação entre variável dependente e variável independente.
No próximo item iremos verificar que o inverso da função exponencial é uma função logaritmica.

Operações Inversas:
Soma
Subtração
4+1=5 => 5-1=4
Multiplicação
Divisão
3×2=6 => 6÷2=3
Potência
Radiciação
5²=25 =>(25)1/2=√25=5
Exponência
Logarítmo
10²=100=>log102 = ?

Potência: y = (VARIAVEL)constante
Exponência: y = (CONSTANTE)variável

4.6. Derivadas de Funções Trigonométricas
A derivada de funções trigonómétricas não se relaciona com reta tangente a seu gráfico, pois não trata-se de polinômios. A reta tangente



As funções trigonométricas são obtidas através de divisões, assim como o próprio conceito de derivada. Por isso que f(x)=sen(x) => f'(x)=cos(x) e f(x)=cos(x) => f'(x)=-sen(x).

Alguns limites do seno e cosseno:


4.6.1. Derivada da Função Seno:
A função seno possui apenas uma variável independente que é o seu ângulo.
f(x)=sen(x) => f'(x)=cos(x)

 Demonstração: click ⇓

4.6.2. Derivada da Função Cosseno:
A função possui apenas uma variável independente que é o ângulo.
f(x)=cos(x) => f'(x)=-sen(x)

  Demonstração: click ⇓

4.6.3. Derivada da Função Tangente
A função tangente é uma função composta pela função seno e função cosseno.

4.6.4. Derivada da Função Cotangente
A função cotangente é uma função composta pela função cosseno e função seno.

4.6.5. Derivada da Função Secante
A função secante é uma função composta pela função constante 1 e a função cosseno.


4.6.6. Derivada da Função Cossecante
A função cossecante é uma função composta pela função constante 1 e a função seno.

4.6.7. Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
Já sabemos que:
Para f(x) = y uma função derivável em um intervalo aberto. A derivada da função inversa de f é igual ao inverso da sua derivada.Porém, será calcula as derivadas das funções inversas trigonométricas através do próprio conceito de derivada.

Não confundir função inversa com função invertida:
Funções
Função Invertida
sen(x)
1/sen(x)=cossec(x)
cos(x)
1/cos(x)=sec(x)
tg(x)
1/tg(x)=cotg(x)

Funções
Funções Inversas
sen(x)
arcsen(x)
cos(x)
arcos(x)
tg(x)
arctg(x)
cossec(x)
arcossec(x)
sec(x)
arcsec(x)
cotg(x)
arcotg(x)

Ciclo Trigonométrico: sen(β)=y e cos(β)=x

4.6.7.1. Derivada da Função Arco Seno
A função arco seno é a função inversa da função seno.
y=sen(x) ⇒ x=sen(y) ⇔ y=arcsen(x)
Obs:
y≠y
y-=arcsen(x), porém, sen(y-) Não se usa.
arcsen(x)=sen-(x)


Função Seno
FunçãoArco Seno
Dominío=[-π/2,π/2]
Imagem=-1≤ y ≤1
Domínio=[-1+1]
Imagem=-π/2≤ y ≤π/2

Importante: x é ângulo na função seno, cosseno e tangente. No ciclo trigonométrico x é o cosseno e y o seno.



4.6.7.2. Derivada da Função Arco Cosseno
A função arco cosseno é a função inversa da função cosseno.

y=cos(x) ⇒ x = cos(y) ⇔ y- = cos-(x) ⇔ y- = arcos(x)
x = cos(y) Função Composta
[x]' = [cos(y)]' Diferenciação implícita: 1/dx
1 = cos'(y).y'
y' = -1/sen(y)
Sabendo que cos²(y)+sen²(y) = 1 =>+sen²(y)=1=> sen(y) = √1-x²
y' = -1/√1-x²

4.6.7.3. Derivada da Função Arco Tangente
A função arco tangente é a função inversa da função tangente.
y=tg(x) ⇒ x=tg(y) ⇔ y=arctg(x)



4.6.7.4. Derivada da Função Arco Cotangente
A função arco cotangente é a função inversa da função cotangente.
y=cotg(x) ⇒ x=cotg(y) ⇔ y=arcotg(x)




4.6.7.5. Derivada da Função Arco Secante
A função arco secante é a função inversa da função secante.
y=sec(x) ⇒ x=sec(y) ⇔ y=arcsec(x)




4.6.7.6. Derivada da Função Arco Cossecante
A função arco cossecante é a função inversa da função cossecante.
y=cossec(x) ⇒ x=cossec(y) ⇔ y=arcossec(x)




4.7. Derivada da Função Exponencial
A função possui apenas uma variável independente que é o expoente da potência. A base da potência é uma constante.
f(x) = ax, a > 0 e a≠1 => f'(x)=ax.Ina
Ina=logea
Se a = e => logee = 1 => f(x)=ex => f'(x) = ex

Exemplo:


Segundo Limite Fundamental

O número de Napier é um número resultado do limite da expressão matemática abaixo.

Expressão similar:

Obs:



4.8. Derivada da Função Logarítmica Imediata
Cuidado com a notação f(x) ao achar a sua função inversa, utilize y em vez de f(x).
f: y = ax
(f)-: x = ay => loga x = y
x: variável independente.
y: variável dependente.


No item anterior estudamos que a derivada da função inversa de f é igual ao inverso da derivada da função. Ou seja, a derivada da função logaritmica é igual ao inverso da derivada da função exponencial.
A derivada da função exponencial é:
f(x) = ax => f'(x)=ax.Ina, x∈ℜ+*, a>0 e a≠1.

Então para: loga x = y => y' =



5. Operações com Funções Simples
A operação com funções simples utiliza a derivada imediata em suas fórmulas.
5.1. Derivada da Soma de Funções

Assim como os limites a derivada da soma é igual a soma das derivadas (se tais derivadas existem em um intervalo aberto do domínio de cada uma).
Para f(x) = f1(x)+f2(x)+...+fn(x), n∈ℵ*+
f'(x) = f'1(x)+f'2(x)+...+f'n(x)

5.2. Derivada da Diferença de Funções
Assim como os limites a derivada da diferença de funções é igual a diferença das derivadas das rspectivas funções (se tais derivadas existem em um intervalo aberto do domínio de cada uma).
Para f(x) = f1(x)-f2(x)-...-fn(x), n∈ℵ*+
f'(x) = f'1(x)-f'2(x)-...-f'n(x)

5.3. Derivada do Produto
f(x)=f1(x).f2(x)
Com f1(x).f2(x) diferenciáveis em um intervalo aberto de seus domínios.
f'(x) = f'1(x).f2(x)+f1(x).f'2(x)



Se f(x)=f1(x).f2(x). ... .fn(x)
f'(x)=f'1(x).f2(x). ... .fn(x) + f1(x).f'2(x). ... .fn(x) +...+ f1(x).f2(x). ... .f'n(x)

5.4. Derivada da Multiplicação de uma Função por uma Constante:
Um caso particular da derivada da multiplicação é quando na multiplicação entre duas funções uma é uma constante.
Seja f1(x) = k uma constante. Então pela regra da multiplicação:
f(x)=k.f2(x) => f'(x) = k.f'2(x)
ou
[kf(x)]' = kf'(x)

5.5. Derivada da Quociente
Seja a funções f(x) e g(x) diferenciáveis em um intervalo aberto de seus domínios e g(x)≠0.



5.6. Regras Acumuladas Implicitamente
As regras da derivada da função simples são acumulativas e muitas vezes utizamo-nos sem perceber. Vejamos a derivada da potência e derivada do produto:
Função potência: f(x)= xn => f '(x)=n.xn-1
Função produto
f(x)= xn => f(x) = x. xn-1
Fazendo: j(x) = x e g(x)=xn-1
Pela regra do produto:
f '(x)=j'(x).g(x)+j(x).g'(x)
f '(x)=(1).xn-1+x.(n-1)xn-2
f '(x)=xn-1+x.(n-1)xn-2
f '(x)=xn-1+(n-1)xn-1
f '(x)=(n-1+1)xn-1
f '(x)=nxn-1

6. Derivada de Função Composta ou Regra da Cadeia
A função composta de h com a função g é indicado por f(x)= hog. A regra da cadeia permite obter a derivada da função composta a partir das derivadas imediatas das funções simples  h e g.
A função f(x) é a função composta de h com g.
Cada letra representa uma função: f, h e g.

Repare que h(g(x)) NÃO é a função composta. Geralmente uma função é apresentada por f(x), caso seja composta, então f(x)=hog.

Como estamos tratando de derivadas os intervalos A, B e C devem ser abertos.
Teorema: Seja F a função composta de duas funções h e g, f=hog. Se existirem as derivadas g'(x) e h'(g(x)), então a derivada f'(x) existe e é dada pela expressão: f'(x) = g'(x).h'(g(x)).
Exemplo:
Função composta: f(x) = (x+1)2
Funções simples:
g(x) = (x+1)
Substituir (x+1) por uma letra, (x+1)=t
h(x) = t2
Pela regra da função composta:
f(x) = g'(x).h'(x)
g'(x) = (x+1)' = 1 e h'(x)= 2t = 2(x+1)
f'(x) = 2x+2



6.1. Derivadas de Funções
Diferentemente da derivada de função imediata ou derivada de função simple (aquelas que possuem apenas uma variável dependente), na derivada de função a propria função possue uma outra função como variável ou seja, estamos diante de uma função composta.
6.1.1. Derivada de Potência
A função potência possue uma outra função como base.
Trata-se de função composta. Sua fórmula decorre da aplicação direta da regra da cadeia.
y = f(x)n => y' = n.f(x)n-1.f(x)'
Exemplo:
f(x)=(x³+2x)²
f'(x)=2(x³+2x).(x³+2x)'
f'(x)=2(x³+2x).(3x²+2)

6.1.2. Derivada da Função Exponencial (a base é uma função)
A função exponencial possue uma outra função como expoente.
Trata-se de função composta. Sua fórmula decorre da aplicação direta da regra da cadeia.
f(x) = ag(x), a > 0 e a≠1

A potência possui uma função como expoente de sua base. A base da potência é uma constante.
Repare que trata-se de uma função composta tal que:
g: x→g(x)
h: g(x) = t => t → h(t) => h(t) =at
Regra da função imediata: h'(x) = at.Ina

Pela regra da cadeia:
f'(x) = g'(x). ag(x).Ina
Se a = e => logee = 1 => f(x)=eg(x) => f'(x) = g'(x).eg(x)

6.1.3. Derivada da Função Logarítmica (o expoente é uma função)
A derivada da função logaritmica é igual ao inverso da derivada da função exponencial.


6.1.4. Derivada da Função Exponencial Composta
A regra da derivada de função composta deriva dentro e deriva fora.
f(x)=h(x)g(x)
h: x→h(x)
g: x→g(x)
f: x→h(g(x))
h(x)>0

g: g(x)→h(g(x)): Função Exponencial
g'(x).h(x)g(x).Ina

h: h(x)→h(g(x)): Função Potência
g(x).h(x)g(x)-1.h'(x)

f'(x) = g(x).h(x)g(x)-1.h'(x) + g'(x).h(x)g(x).Ina

6.1.5. Derivadas de Funções Compostas Trigonométricas
Seja g(x) uma função diferenciável.
A regra da derivada de função composta deriva dentro e deriva fora.

6.1.5.1. Derivada da Função Seno Composta
f(x)=sen(g(x))
f'(x)=cos(g(x)).g'(x)

7. Derivação Implícita
Uma equação com duas variáveis trata-se uma variável como dependente e a outra como variável dependente. Aplica-se a regra da derivada da função composta na variável dependente quando necessário.


8. Tabela Resumo
x: variável independente, k: constante. Função simples possui apenas uma variável independente.
u e v funções deriváveis de x e n constante. u=g(x) e v=h(x)
y:Função Simples
Derivada (imediata)
y:Função Composta
Derivada
y=k
y'=0


y=xn y'=nxn-1 y=un y'=nun-1.u'
y=ax y'=axIna y=au y'=au.u'.Ina
y=ex y'=ex y=eu y'=eu.u'


y=uv y'=v.uv-1.u'+uv.(Inv).v'
y=logax
y'=1/(x.Ina)=(1/x).logae y=logau y'=(u'/u)logae
y=logex y'=1/x y=logeu y'=u'/u
y=f1(x)+f2(x)+... y'=f'1(x)+f'2(x)+... y=u+v
y'=u'+v'
y=f1(x)-f2(x)-... y'=f'1(x)-f'2(x)-... y=u-v
y'=u'-v'
y=f1(x).f2(x) y'=f'1(x).f2(x)+f1(x).f'2(x) y=u.v
y'=u'.v+u.v'
y=f(x).g(x) y'=(f'(x).g(x)-f(x).g'(x))/[g(x)]²
y=u/v
y'=(u'.v-u.v')/u²
y=kf(x)
y'=k.f'(x)


y=sen(x) y'=cos(x) y=sen(u) y'=cos(u).u'
y=cos(x) y'=-sen(x) y=cos(u) y'=-sen(u).u'
y=tg(x) y'=sec²(x) y=tg(u) y'=sec²(u).u²,u'
y=cotg(x) y'=-cossec²(x) y=cotg(u) y'=-cossec²(u).u'
y=sec(x) y'=sec(x).tg(x) y=sec(u) y'=sec(u).tg(u).u'
y=cossec(x) y'=-cossec(x).cotg(x) y=cossec(u) y'=-cossec(u).cotg(u).u'
y=arcsen(x) y'=1/√1-x² y=arcsen(u) y'=u'/√1-u²
y=arcos(x) y'=-1/√1-x² y=arcos(u) y'=-u'/√1-u²
y=arctg(x) y'=1/(x²+1) y=arctg(u) y'=u'/(u²+1)
y=arcotg(x) y'=-1/(x²+1) y=arcotg(u) y'=-u'/(u²+1)
y=arcsec(x) y'=1/(|x|√x²-1)
y=arcsec(u), |u|≥1 y'=u'/(|u|√u²-1), |u|>1
y=arcossec(x) y'=-1/(|x|√x²-1) y=arcossec(u), |u|≥1 y'=-u'/(|u|√u²-1), |u|>1


8. Aplicação da Derivada
Interpretação cinemática da derivada.