Integral Definida


1. Introdução
O cálculo diferencial e integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), calculados respectivamente pela derivada e integral.
O cálculo envolve inicialmente o conceito de limites e somatórias para depois fundamentar o conceitos de derivadas e integrais de funções. A integral também pode ser chamada de antidiferenciação, porque o processo de integração de uma função inverte o processo de diferenciação.

1.1. Integral

A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.
As integrais podem ser classificadas em três tipos:
a) integrais indefinidas;
b) integrais definidas;
c) integrais impróprias.

As propriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.

2. Integral Definida
É o cálculo da área do grafico de uma função entre dois número dados. A Geometria é ineficaz para o cálculo da área do gráfico de uma função, para esse fim utiliza-se o conceito integrais definidas.

2.1. Soma de Riemann
Soma de Riemann é a soma da área do gráfico de uma função, curva ou gráfico formada por vários retângulos cuja as bases são formadas por a = x0 < x1 < x2 ... < x7 = b e altura t1, t2 ... t7. Esta área é uma aproximação da área delimitada por uma função, curva ou gráfico através de retângulos.
Área = Σ f(x).Δx.
Calcula-se a área de cada retângulo e soma-se todas essas áreas juntas para aproximar ao valor de área pretendido para a função em questão. 


Dada uma função f limitada num intervalo [a,b], e uma partição P = {xo = a < x1 < x2 < ... < xn-2 < b = xn}  desse intervalo, uma soma de Riemman é


2.2. Interpretação Geométrica
Suponha que y = f(x) seja contínua e positiva em um intervalo [a,b]. Dividindo este intervalo em n sub-intervalos de comprimento iguais, ou seja, de comprimento Δx = , de modo que a = a0 < a1 < a2 ... < an = b. Seja xi um ponto qualquer no sub-intervalo [ak-1, ak], k = 1,2,...,n. Constuímos em cada um desses sub-intervalos retângulos com base Δx  e altura f(xi), conforme a figura do item 2.1.

A soma das áreas dos n retângulos construídos é dado por: A = = , mas este limete é exatamente igual à definição de integral definida e com isso observamos que a integral definida de uma função contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo-x e pelas retas x=a e x=b.

Observação: Na definição de integral definida consideramos um função contínua qualquer, podendo assumir valores negativos. Nesse caso o produto f(xi).Δx representa o negativo da área do retângulo. Se f(x) < 0 para x ∈ [a,b], então A = -.

2.3. Pelo Método da Antidiferenciação
A eliminação da constante de integração pode ser obtida através de um tipo de integral chamado de integral definida, que é uma integral cujo processo de integração deve ser realizado entre dois valores da variável de integração.
Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx = F', na qual uma certa grandeza F está variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença:
Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a)

O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é denotado pela fórmula:
= F(b) - F(a)
Leitura: integral definida de f de a até b.
Os números a e b são denominados limites de integração.
Se f é uma função de x, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um intervalo específico, digamos, a ≤ x ≤ b. O resultado é um número que depende apenas de a e b, e não de x. Vejamos a definição:

Definição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b]. Supondo que este intervalo seja dividido em n partes iguais de largura Δx = (b - a)/n e seja xi um número pertencente ao i-mésimo intervalo, para i = 1, 2, ..., n. Nesse caso, a integral definida de f em [a,b], denotada por , é dado por , se este limite existir.
Pode-se mostrar que se a função y = f(x) é contínua em um intervalo [a,b], então ela é integrável em [a,b].


3. Teorema Fundamental do Cálculo

I) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número neste intervalo.
Se F for uma função tal que, então F'(x) = f(x).

Leitura:
A integral da derivada de f(x) é igual a F(x) chamada de antiderivada.

Análise:
Se F(x) = f(x) + C, derivando os dois lados da equação, tem-se: F'(x) = f'(x), então: F(x) é a antiderivada de f(x).

Observe que a integração da derivada de uma constante não reproduz a função original que é uma constante, pois derivada de constante é zero, portanto, ao fazer uma integração soma-se uma constante a função original, este tipo de integral é denominado integral indefinida.
A integração indefinida ou antiderivação é a operação inversa da diferenciação.

Conclusão
: a antiderivação é o processo pelo qual operamos a deferencial de uma função  para encontrar a sua exata função primitiva.

Exemplo:
Se f(x) = x³/3, então sua derivada é: f'(x) = 3x²/3 = x². Nesse caso, uma das anti-derivadas de x² é x³/3.


II) Se f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F uma primitiva de f . Então:

Este segundo teorema estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as integrais definidas. Esta conexão é a fórmula também conhecida como fórmula de Newton-Leibniz.


4. Propriedades da Integral Definida
Nas propriedades enunciadas a seguir consideremos, f e g, funções contínuas nos intervalos fechados sugeridos pelos limites de integração.



5. Laboratório de Integral

Calcule a área da região plana compreendida pelo gráfico da função f(x)=1/2x², pelo eixo x e pela reta vertical x = 2.
Observe que que pode ser obtido em uma calculadora, a medida que aumenta o número de retângulos na área abaixo do gráfico entre o intervalo [0,2], mais se aproxima de 1.33.

Pela Soma de Riemann Inferior:


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Pela Soma de Riemann Superior:



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6. Exercícios
6.1. Calcule os Integrais Efetuando a Substituição de Variáveis


Exercício 1:



Exercício 2:



Exercício 3:



Exercício 4:


Exercício 5:


Exercício 6:


6.2. Calcular os Integrais pelo Método da Integração por Partes
Exercício 1:


Exercício 2:


Exercício 3:


Exercício 4:


Exercício 5:


6.3. Calcular os Integrais
Exercício 1:


Exercício 2:


Exercício 3: