Integral Imprópria


1. Introdução

As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites à teoria de integrais. Os exercícios que envolvem integrais impróprias requerem habilidades na integração e no cálculo de limites.
Integrais definidas em que um ou ambos os limites de integração tendem ao infinito não podem ser resolvidas por meio da Fórmula de Newton-Leibniz, visto que esta requer o cálculo da primitiva em valores determinados. Tais integrais são chamadas integrais impróprias. Antes de prosseguir com o assunto será revista alguns conceitos fundamentais neste item.

1.1. Soma de Riemann
Soma de Riemann é a soma da área do gráfico de uma função, curva ou gráfico formada por vários retângulos cuja as bases são formadas por a = x0 < x1 < x2 ... < x7 = b e altura t1, t2 ... t7. Esta área é uma aproximação da área delimitada por uma função, curva ou gráfico através de retângulos.
Área = Σ f(x).Δx.
Calcula-se a área de cada retângulo e soma-se todas essas áreas juntas para aproximar ao valor de área pretendido para a função em questão. 


Dada uma função f limitada num intervalo [a,b], e uma partição P = {xo = a < x1 < x2 < ... < xn-2 < b = xn}  desse intervalo, uma soma de Riemman é


1.2. Teorema Fundamental do Cálculo
Antes de prosseguir com o assunto vamos rever esse teorema, pois irá facilitar a compreensão de integral imprópria.

I) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja x qualquer número neste intervalo.
Se F for uma função definida por , então F'(x) = f(x)

Análise:
F(x): é a primitiva da função f(x), também chamada de antiderivada de f(x), repare que, ƒF'(x)dx = F(x) + C → F'(x) = f(x), F(x) é uma família de f(x).
O processo de obtenção de F(x) pode ser chamada de antidiferenciação.

Exemplo:
Se f(x) = x³/3, então sua derivada é: f'(x) = 3x²/3 = x². Nesse caso, uma das anti-derivadas de x² é x³/3.
Conclusão: a antiderivação é o processo pelo qual operamos a diferencial de uma função  para encontrar a sua exata função primitiva.


II) Se f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja F uma primitiva de f. Então:
Este segundo teorema estabelece uma conexão entre as integrais indefinidas e as integrais definidas. Esta conexão é a fórmula também conhecida como fórmula de Newton-Leibniz.


1.3. Função Logarítmo Natural
Mais um revisão que facilitará a compreensão.

f(x) = loge b    se, e somente se, eb = x
f(x) = Inx

Propriedades
Seja x, y ∈ (0,+∞)
1) In1 = 0
2) In(x.y) = In(x) + In(y)
3) In(1/x) = -In(x)
4) In(x/y) = In(x) - In(y)
5) In(xn) = n.In(x)


1.3.1. Derivada da Função Logarítmica Natural

Seja f(x) a função logarítmica, isto é, f(x) = In(x)
Partindo da definição de derivada tem-se:


Como f(x) = In(x), substituindo:


Por questão de praticidade, será usado  h no lugar de Δx e y no lugar de f(x), isso é comum em cálculo. Usando as propriedades dos logaritmos, a equação acima pode ser escrita como:

Usando uma variável auxiliar, v=h/x, e verificando que, se h tende a zero, o mesmo ocorre com v, assim:


Como a função logaritmo é contínua para valores de v maiores que zero, o limite do logaritmo é o logaritmo do limite, assim:

O limite entre parênteses, como também você já deve ter visto (ver nota ao lado), é:

Como In(e)=1, pois  é a base do logaritmo neperiano, então, finalmente, temos que:

Faça o gráfico da função e verifique que, em torno de zero, a função tem o valor 2,71828 que é a base dos logaritmos neperianos (e).


1.3.2. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo a função logarítmica natural temos:
Teorema:, então F'(x) = f(x)
Portanto:
Calculado no item 1.2.1:, integrando os dois lados tem-se:


1.3.3. Função logaritmo natural , também chamada de função neperiano é:
In(0,+∞) → ℜ
x |→ In(x) =
Gráfico de 1/t:
Podemos definir a função logaritmo natural como sendo uma área. Por exemplo para 1 ≤ x ≤ 2.5, temos o gráfico:


Fazendo o cálculo experimentalmente acha-se o mesmo resultado para a integral da função logarítmica natural e a intragral da diferencial da função f(t) = 1/t.

1.4. Formas indeterminadas

Forma indeterminada
Forma de limite:
0/0
∞/∞

1.5. Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial
Os teoremas de Rolle, de Lagrange, de Cauchy e a regra de L’Hospital são os quatro teoremas fundamentais do cálculo diferencial e são úteis no estudo das funções reais de variável real.

1.5.1. Teoremas de Rolle
Este teorema dá condições sufucuentes para a existência de um número crítico.
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b) e se f(a) = f(b), então f'(c) = 0 para ao menos um número c em (a,b).


Corolário
Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e se f(a) = f(b), então f tem ao menos um ponto crítico no intervalo aberto (a,b).

Definição: Um número c no domínio de uma função f é um número crítico de f se f'(c) = 0 ou f'(c) não existe.

1.5.2. Teorema de Lagrange ou do Valo Médio

Se f é contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe um número c em (a,b) tal que




1.5.3. Fórmula de Cauchy

Se f e g são contínuas em [a,b] e diferenciáveis em (a,b) e se g'(x) ≠ 0 para todo x em (a,b), então existe um número w em (a,b) tal que


1.5.5. Regra de L'Hôspital
Usada para determinar limites de quocientes em que ambos, numerador e denominador, tendem para 0, ou ambos tendem para ∞ ou -∞.
Sejam f e g diferenciáveis em um intervalo aberto (a,b) contendo c, exceto possivelmente no próprio c. Se f(x)/g(x) tem a forma indeterminada 0/0 ou ∞/∞ em x = c e se g'(x) ≠ 0 para x c, então desde que   exista, ou


2. Integral Imprópria

O conceito de integral definida só vale para função contínua num intervalo fechado e limitado, porém, a  fórmula para calcular a área do  gráfico pode ser adaptada para funções impróprias.
Há dois tipos ou espécies de funções impróprias:
- Uma integral definida é dita imprópria quando a função tem uma descontinuidade infinita em [a;b].
A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b].
- Uma integral definida é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito.
Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente.

As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística.

2.1. Integral Imprópria com Descontinuidade Infinita
Analisaremos, a partir de agora, algumas situações que permitem a extensão dos conceitos de integral definida fazendo uso, inicialmente, dos conhecimentos do cálculo de áreas sob curva. Para exemplificar, tomemos a seguinte função:
f(x) = x², 1 < x ≤ 2        
Embora sendo y = f(x) contínua no intervalo dado, o conceito de área sob curva não pode ser aplicado uma vez que a função dada não está definida num intervalo fechado. Mas observe que para um númerro α ∈ ]1,2] tem-se o intervalo fechado [α,2], portanto para esse intervalo vale a propriedade da soma da área do gráfico, pois, abrange o conceito de integral definida.
Como o valor de α foi escolhido arbitrariamente no intervalo ]1,2], pode-se aproximá-lô o mais próximo possível de 1 quanto queiramos. Vale dizer que está implícita, neste fato, a noção de limite e, assim, podemos definir para o caso em questão o seguinte:
Definição
Seja y = f(x) uma função contínua em ]a,b], e c um número, tal que, a < c ≤ b. Nessas condições, se existir o limite e o mesmo for finito:
então existirá a Integral Imprópria de y = f(x) de a até b, denotada por e além disso:

Quando a Integral Imprópria existe dizemos, também, que ela é Convergente. Em caso contrário dizemos que a Integral Imprópria é Divergente. Definições similares à Definição anterior podem ser formuladas para funções contínuas em intervalos da forma [a,b[ e ]a,b[, assim como para intervalos nos quais um dos extremos, ou os dois, forem infinitos. Para o caso em que a função está definida num intervalo aberto, seja de extremos finitos ou não, deve-se tomar um cuidado especial, como o exemplo a seguir irá esclarecer.

Exemplo
Dada a função   f(x) = x² + 1, definida no intervalo ]1,3[, calcular a integral imprópria de 1 até 3. 
A solução, para casos como esses, envolve a escolha de um valor qualquer no intervalo ]1,3[ e o cálculo da integral imprópria como soma de duas outras integrais, também, impróprias. Para tanto, seja c um número tal que 1 < c < 3 e, assim, teremos:

As integrais do segundo membro da igualdade anterior são ambas impróprias, sendo a primeira referente ao intervalo ]1,c] e a segunda ao intervalo [c,3[. Como a escolha de c é livre podemos, por  exemplo, tomar  c = 2   e, assim, teremos:

ou para ]1,c...,2,...d,3[  ou 1 < c < 2 < d < 3.


Assim:




Observe que o conceito de integral imprópria está embasado no conceito de integral definida.


Exemplo

Exemplo:



Regra: deve-se apenas um problema por integral e sempre num extremo.
- Se o problema é em c pertencente ao interior do intervalo [a,b], sendo convergente se ambos o forem (sendo o seu valor a soma).
- Se o problema é em ambos os extremos,
com d ∈ ]a,b[, sendo convergente se ambos o forem (sendo o seu valor a soma).

2.2. Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região A determinada pelo gráfico de y =1/x², x ≥ 1 e o eixo dos x.
Primeiramente note que a região A é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal região.






2.2.1. Integral Imprópria com Intervalo de Integração Infinito
Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de [a,+∞[, isto é, todo [a,β], com β ≥ a.
Chama-se integral imprópria da função f em [a,+∞[ a integral
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio é convergente, sendo esse seu valor.
Caso contrário, isto é, se o limite não existe ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divegente.

Observação: Nas condições da definição anterrior, é simplesmente , sendo F o integral indefinido de f.

Integral de Dirichlet

Analogamente:
Seja f uma função integrável em todo o subintervalo fechado e limitado de ]-∞, b], isto é, todo [α,b], com α ≤ b.
Chama-se integral imprópria da função f em ]-∞, b] a integral

Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio é convergente.
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divergente.


Definição
: Seja f uma função integrável em todo o intervalo fechado e limitado de R. Diz-se que o integral impróprio é convergente se, para algum c ∈ R, forem convergentes ambos os integrais impróprios
Nesse caso,

Se algum dos integrais imprópros for divergente, é divergente.

Nota 1: Nunca se trabalha com dois problemas num integral impróprio, parte´se de modo a termos um problema por integral.
Nota 2: Se ambos os integrais forem divergente, por definição é divergente.
Nota 3: É fácil verificar que a converrgência ou divergência de , bem como o seu valor, é independente do valor c considerado.

2.3. Integrais Impróprios Mistos
Se o integral impróprio for misto, ou seja, se o intervalor for ilimitado e a função for ilimitada nesse intervalo, aplica-se o raciocínio anterior de modo a termos sempre um problema por integral e sempre num extremo.

O integral impróprio misto é convergente se todos os integrais impróprios em que foi decomposto o forem (e o seu valor será a soma do valor desses integrais).
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for divergente, o integral impróprio misto é divergente.
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for divergente, o integral impróprio misto é divergente.

3. Propriedades Algébricas
Proposição: Se f e g são funções integráveis em todo o intervalo [a,β], com β ≥ a, então:
1. se são convergente, tem-se que é convergente e

2. se é convergente e cR, tem-se é convergente e
Observação: Tal como no caso das séries:
- se um dos integrais é convergente e o outro divergente, então a soma é divergente.
- se ambos os integrais são divergentes, nada se pode cocluir.

Note-se esta situação não entra em contradição com a definição de . São questões diferentes.
Observação: Propriedades análogas são válidas para os outros casos de integrais impróprias.


3. Testes de Comparação
Muitas vezes não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, então tentamos primeiramente determinar se ela é convergente ou divergente. Caso ela seja convergente, podemos utilizar métodos numéricos para resolvê-la de forma aproximada. Para auxiliar nesta tarefa de decidir se a integral converge ou diverge alguns teoremas podem ser utilizados.

Critérios de Convergência
Proposição (Primeiro Critério de Comparação)
Sejam f: [a.+∞[ → R, g: [a, +∞[ → R funções integráveis em qualquer intervalo [a,β], com β ≥ a, tais que
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, +∞[
Então
1.  seconvegente  ⇒ convergente;
e
2. se divergente ⇒  divergente.

Proposição (Segundo Critério de Comparação)
Sejam f: [a.+∞[ → R, g: [a, +∞[ → R funções integráveis em qualquer intervalo [a,β], com β ≥ a, tais que
f(x) ≥ 0 e  g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[ e
Então, são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes.

Observação: Mais, do 1º Critério de comparação resulta que:
a) se γ = 0,
1.  convegente  ⇒ convergente;
2. divergente ⇒  divergente.

a) se γ = +∞,
1.  convegente  ⇒ convergente;
2. divergente ⇒  divergente.


Convergência Absoluta
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo [a,β], com β ≥ a.
O integral impróprio diz-e absolutamente convegente se o integral impróprio for convergente.
Se for convergente e for divergente, diz-se simplesmente convergente.

Proposições e definições análogas (propriedades algébricas, critérios de comparação, observação correspondente e definição de convergência absoluta) são válidas para os restantes dos casos de integrais impróprieas (mas sempre com um único problema):

Proposição (Primeiro Critério de Comparação)
Sejam dois integrais impróprios, da mesma espécie e relativamente ao mesmo limite de integração, tais que
0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ ]a, b[.
Então
1. divergente ⇒ divegente;
2. convergente ⇒ convergente.

Proposição (Segundo Critério de Comparação)
Sejam dois integrais impróprios, de 1ª ou 2ª espécie, relativamente ao limite superior x = b (respectivamente, limite inferior x = a) tais que f(x) ≥ 0 e  g(x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞[
e

Então, são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes.

Exemplos Muito Úteis
Sendo a e b reais, com a > b, tem-se que

Definição: Seja um integral impróprio de 1ª ou 2ª espécie.
Este integral diz-se absolutamente convergnte se o integral impróprio for convergente.
Proposição: Seja um integral impróprio de 1ª ou 2ª espécie.
Se é absolutamente cconvergente, então também é convegente.

Critério do Integral
Proposição: Seja f: [1, +∞[ → R, uma função contínua, positiva e decrescente neste intervalo.
Considerando a sucessão de termo geral an = f(n), tem-se que
a série é convergente se o integral é convegente.

Calcule as seguintes integrais impróprias


5) Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de y = 2-x, o eixo dos x e à direita do eixo dos y.

7) Calcule a área da região limitada por f(x) =