Integral Indefinida


1. Introdução

O cálculo diferencial e integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo das taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), calculados respectivamente pela derivada e integral.
O cálculo envolve inicialmente o conceito de limites e somatórias para depois fundamentar o conceitos de derivadas e integrais de funções. A integral também pode ser chamada de antidiferenciação, porque o processo de integração de uma função inverte o processo de diferenciação.
As três apostilas Integral Indefinida, Intregal Definida e Integral Imprópria estão longe de esgotar o assunto, porém é um sólido começo para o aprendizado do calculo.

1.1. Integral

A integral é um operador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis. No item dois será explicado a diferença entre derivada e diferencial.

As integrais podem ser classificadas em três tipos:
a) integrais indefinidas;
b) integrais definidas;
c) integrais impróprias.

As propriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.

2. Integral Indefinida
A integração indefinida é a operação inversa da diferenciação assim como a adição é inversa da subtração, a multiplicação é inversa da divisão, etc.
ƒ: é o operador de integração é o inverso da diferenciação,
A diferencial de uma função real f de variável independente real x e variável dependente y é definida como dy = f'(x)dx
f'(x)dx: diferencial de uma função é a sua derivada vezes a diferencial da variável independente, f'(x)=dy/dx → dy = f'(x)dx
 d ou Dx: é o operador de derivação, calcula a taxa de variação, pode ser usado o sinal de apóstrofe na variável ou na função: y', f' ou f'(x).
dx
f(x) = y → f'(x)=dy/dx → dy = f'(x)dx', portanto:

ƒdy = ƒf'(x)dx = f(x) + C
ou
ƒ(Dx f(x))dx = f(x)  + C

Observe que:
f(x) = cte → f'(x) = 0  ƒf'(x)dx = ƒ0dx = 0
Observe que a integração da derivada de uma constante não reproduz a função original que é uma constante, pois derivada de constante é zero, portanto, ao fazer uma integração soma-se uma constante a função original, este tipo de integral é denominado integral indefinida.
A integração indefinida ou antiderivação é a operação inversa da diferenciação.


Definição

Dada uma função f(x) e seja F(x) outra função tal que F'(x) = f(x), então:
F(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x)

ƒF'(x)dx = F(x)  + C ou ƒ(x)dx = F(x)  + C, uma vez que F'(x) = f(x)

Exemplos:
Se  F(x) = x5/5, então  a derivada de F(x) é F'(x) = 5x4/5 = x4 = f(x). Uma das antiderivadas ou integral indefinida de f(x) é F(x) =  x5/5.


Se F(x) = x³, então F'(x) = 3x² = f(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de f(x) é F(x) = x³.
Se F(x) = x³ + 4, então F'(x) = 3x² = f(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de f(x) é F(x) = x³ + 4.

Definição da Antidiferenciação ou Integral Indefinida:
ƒf(x)dx = F(x) + C
ƒ: sinal de integração ou antidiferenciação
f(x): função integrando, é a função que é derivada da F(x)
dx: é a diferencial da variável independente
f(x)dx: é a diferencial da função, observe que esta notação não possui apóstrofo em f(x) porque  F(x) é considerada antiderivada de f(x).
F(x): é a primitiva da função f(x), também chamada de antiderivada de f(x), repare que, ƒF'(x)dx = F(x) + C → F'(x) = f(x).
O processo de obtenção de F(x) pode ser chamada de antidiferenciação.
C: constante real de integração

Existe uma família de antiderivadas de f(x) da forma F(x) + C.
Lê-se: Integral indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação a x.

F(x) + C é antiderivada de f(x) porque Dx(F(x) + C) = Dx(F(x)) + Dx(C) = f(x) + 0 = f(x)

A forma abaixo é mais fácil de entender que a integral da diferencial da função consegue reverter a função original.
ƒf'(x)dx = f(x) + C
Integral da diferencial da função.

Repare que:
Como ƒf(x)dx = F(x) + C → Dx(ƒf(x)dx) = Dx(F(x) + C) = f(x)
Dx(ƒf(x)dx) = Dx(ƒF'(x)dx) = Dx(F(x)) = f(x)
A derivada anula a diferencial.


2.1. Regras algébricas para Integração Indefinida:
1) kf(x)dx = kf(x) dx, k uma constante qualquer.
2) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx
3) ƒf(x)dx = F(x) + C
4) d (ƒf(x)dx) = f(x)
   dx

Obs: Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções.

2.2. Integral Indefinida
de uma Constante
Pela regra de derivação a derivada de uma constante é zero:

f(x) = y = cte ⇒ dy/dx = 0
dy = 0.dx ⇒ dy = dx.0dy = dx.0 ⇒ y = x.0 = 0

Observe que a integração da derivada não reproduziu a função original que é uma constante, portanto, ao fazer uma integração soma-se uma constante na função prmitiva:
y = cte ⇒ dy/dx = 0 ⇒ dy = dx.0 ⇒ dy + C'1= dx.0 + C'2
y + C'1 = x.0 + C'2
y = C'2 - C'1 = cte

Uma vez que a diferença entre duas constantes é uma constante, é suficiente introduzir uma constante de integração em um dos membros da equação que está sendo integrada. Este tipo de integral é denominado integral indefinida. Assim, a função original é obtida.

Externalização da Constante
Sabe-se que a derivada de uma constante é zero.
y = cte ⇒ dy/dx = 0 ⇒ dy = dx.0 ⇒ dx.0 = 0. dx = 0
O que vale para o número zero vale para todos os números, ou seja:

dx.cte = cte. dx

Regra:
A integral do produto de um diferencial por uma constante é igual ao produto da constante pela integral do diferencial, ou seja, a constante pode sair da integração.

Regra:
O operador integral,
, deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial dy, ele anula a ação desse operador, isto é, eles são opostos:
dy = y d = 1
d: operador unário


2.3. Fórmulas


2.4. Integrais Imediatas
A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela abaixo:


2.5. Exercícios Resolvidos:

6) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 1 + 4t  +3t²  m/min.
Que distância o corpo percorre no terceiro minuto?
Solução:
Seja s(t) a posição do corpo no tempo t. Como a velocidade é dada pela derivada da função posição, segue que s´(t) = v(t), ou seja:
s(t) = v(t)dt ou s(t) = t + 2t² + t³ + C
A distância que o corpo percorre no terceiro minuto é dada por s(3) – s(2) = 3 +18 + 27 + C – 2 – 8 – 8 – C = 30. Portanto, o corpo percorre 30 metros no terceiro minuto.

7) Determinar a área delimitada pela parábola abaixo e o eixo-x.



8) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Aceleração Constante ou Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Suponto que uma partícula se mova com aceleração constante durante um determinado intervalo de tempo. Se você souber a velocidade instantânea no instante inicial deste intervalo, você pode conhecer a velocidade em qualquer intante do intervalo.
Vamos representar a aceleração da partícula por a e vamos chamar de vo a velocidade no instante inicial to = 0.
v'(t) = a
v(0) = vo
v(t)=v'(t)dt = adt = at + c
v(t) = at + c , para t=0 → v(0) = a.0 + c → v(0) = c, para v(0)= v → vo = c
Logo, v(t) = at + vo

Se conhecermos também a posição da partícula no instante inicial, podemos obter a sua posição em qualquer instante deste intervalo.
Vamos chamar de xo a posição da particula no instante inicial to = 0.
x'(t) = at + vo
x(0) =
x
x(t) = x'(t)dt = (at + vo)dt = at²/2 + vo t + c
x(t) = at²/2 + vot + c, para t = 0 → x(0) = a0²/e + vo.0 + c, para x(0) =  xo → xo = c
Logo, x(t) = at²/2 +vot + xo

Assim, chegamos as fórmulas de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV):
v(t) = at + vo
x(t) = at²/2 +vot + xo




Exemplo:

Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s.
Desprezando a resistência do ar, determine.

1) a distância da pedra ao solo após t segundos.

2) o intervalo durante o qual a pedra sobe.

3) instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.




Solução:
O movimento da pedra pode ser representado por um ponto numa coordenada vertical l com origem no solo e direção positiva para cima, conforme a figura.
1) A distância da pedra ao solo no instante t é função s(t) e as condições iniciais são s(0) = 45 e v(0) = 30. Como a velocidade é decrescente, v'(t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Com os dados desse exemplo, tem-se:
a(t) = v'(t) = -9,8
v'(t)dt = -9,8dt
v(t) = -9,8t + C
para algum C. Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30, vem 30 = 0 + C = C e, consequentemente, v(t) = -9,8 + 30
Como s'(t) = v(t), obtemos
s'(t) = -9,8t + 30
s'(t)dt = (-9,8 + 30)dt
s(t) = -4,9t² + 30t + D
para algum D. Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + D, ou D = 45. Segue-se que a distância do solo à pedra no instante t é dado por
s(t) = -4,9t² + 30t + 45
2) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que -9,8t + 30 = 0 ou t ≈ 3.
3) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando -4,9t² + 30t + 45 = 0 ou 4,9t² - 30t - 45 = 0
donde t = -1,24 ou t = 7,36. A solução -1,24 é estranha, pois t não é negativo. Resta t = 7,36s, que é o tempo após o qual a pedra atinge o solo. A velocidade nesse instante é v(7,36) = -9,8(7,36) + 30 ≈ -42,14 m/s.

2.6. Mudança de Variável (método da substituição)
Se f é uma função f(x) tal que parte dela possa ser substituído por uma função u(x) e ela possua ainda a derivada de u(x) então pode-se usar a técnica de substituição de variável para o calcula da integral de f, no final da operação é só retornar com o valor de u(x) no resultado final.

f(x)dx = g(u)dx
u' = du/dx   ⇒   dx = du/u', portanto:
f(x)dx = g(u)du/u'

Mudança de Variável em Integral Definida
Existem dois métodos para se calcular uma integral definida por substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e então usar o Teorema  Fundamental do Cálculo II.
O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites de integração ao se substituir a variável, simplificando aa função original, como foi feito com a intefgral indefinida.


Se estivermos tratando de uma integral definida, devemos trocar os limites de integração, achando os valores de u correspondentes para o intervalo de integração adotado. Por exemplo, se o intervalo for [a,b], devemos usar o novo intervalo [g(a), g(b)] e resolver a integral normalmente.


Importante: para realizar a integração, é preciso que haja um ‘fragmento’ da derivada de g(x) presente na integração.

Vejamos um exemplo:

x sen (x²) dx
f(x) = x sen (x²)
Para u(x) = u = x², esta é a função simplificadora.
f(x) = xsen(u) ⇒ u =   ⇒ u' = 2x ⇒ x = u'/2, então é cabível a fórmula da substituição, pois há uma função simplificadora e sua derivada na função dada.
sen (x²) x dx = sen (u) (u'/2)dx
u' = du/dx ⇒ dx = du/u'
sen (u) (u'/2)dx = sen (u) (u'/2)du/u' = sen (u) (1/2)du =  1/2sen (u)du = - 0,5cos(u) + C = -0.5cos(x²) + C

Se na expressão de f aparecer uma função e sua derivada, então a sua integral em relação a x pode ser calculada do seguinte modo:
f(x)dx = g(u)du, onde dx=du/u'


Veja o calculo das integrais abaixo:



e)

Com a substituição: t = 3x dt = 3dx dx= dt/3