Limites


Serão abordados alguns conceitos básicos sobre limites. Limites de uma função é a principal base de construção para os cálculos.


1. Aproximação
Aproximação é um conceito muito vago, pois, um milimetro, um centímetro, um metro, etc, pode ser considerado próximo dependendo de qual propósito está sendo trabalhado.

Graficamente tem-se:

Quando x se aproxima de a pela direita e pela esquerda , y também se aproxima de b pela direita e pela esquerda,  então o limite é:



Observe que a não pertence ao domínio de f(x), no exemplo abaixo x não pode ser igual a 25 porque não existe divisão por zero, primeiro é preciso simplificar a função:
Exemplo
Resolução


x = 25 na função simplificada existe.


Exercícios:


Exercício
Resolução










2. Tolerância


Pode-se estabelecer um intervalo aberto de valores para o x da função tal que esse intervalo corresponda respectivamente a um intevalo aberto de valores de f(x).
Para uma tolerância θ  no eixo-y tem-se uma tolerância ω no eixo-x.
Intervalo aberto no eixo-y: b - θ < b < b + θ
Intervalo aberrto no eixo-x: a - ω < a < a + ω

Considere o gráfico abaixo:

A medida que x se aproxima de a da mesma forma y se aproxima de b, ambos tanto pela esquerda quanto pela direito.

2.1. Definição de limite de uma função:
Seja uma função f definida em um intervado aberto que contém o ponto a, exceto possivelmente no próprio ponto a, e seja, b um número real. Então:

Para todo θ > 0 existe um ω > 0 tal que se 0 < |x - a| < ω, então |f(x) - b| < θ.
|x - a| é a tolerância-ω
|f(x) - b| é a tolerância-θ

Obs:
1) O limite é único.
2) O conceito de tolerância estabelece um conjunto de valores para x e f(x) que têm um dado limite único.
3) O conceito de tolerância estabelece uma margem para o conceito de proximidade.

Exercício:



3. Propriedades




3.1. Operações com  Limites
(outra explicação)