Logaritmo


1. Logarítmo
Logarítmo é o expoente real de uma potência de base positiva e diferente de 1  (um).
Aritmética
- Potênciação
É uma operação de multiplicação de um número real por tantas vezes quanto forem o seu expoente natural
ax=b
x∈ℕ
a ≠ 0 e a∈ℝ

b=(a.a.a. ... a)
x=(1+1+1+...+1)
ax = b => dado a e x  => b = ?

Exemplo (potência de base 2):
(20,21,22,23,24)=(1,2,4,8,16)

O termo exponenciação é comumente utilizado como sinônimo de potenciação, na aritmética não causa problema, porém, na algebra tal termo é inadequado porque o inverso da função potência é a função radiciação e o inverso da função exponenciação é a função logarítmica.
Na função potência a variável independente é a sua base e na função exponencial a variável independente é o seu expoente.

- Logarítmo de um número
Logarítmo é o expoente real de uma potência com base positiva e diferente de 1  (um).
 ax = b => dado a e b => x = ?
logab = x ⇔ alogba= ba>0 e a ≠ 1
b∈ℝ*+
e x∈ℝ
Exemplos:
1) (log220,log221,log222,log223,log224) = (0,1,2,3,4)
2) log105 = 0.69897... ⇔ 100.69097... = 5
ou
log105 = x ⇔ 10log510= 5

As operações com logarítmos podem ser transformadas de  multiplição em adição, de divisão em subtração, de potenciação em multiplicação e de radiciação em divisão.

Algebra (função)

f: y = ax (função expoencial)
f -: x = ay => loga x = y (função logarítmica)
x: variável independente.
y: variável dependente.
Cuidado com a notação f(x) ao achar a sua função inversa, utilize y em vez de f(x)
 
Há diferenças entre operações com números (aritmética) e operações com variáveis  de uma função (algebra).
O inverso da operação potência é a operação radiciação (aritmética), porém, quando se trata de funções inversas, há uma troca de posição entre variáveis dependente e independente (algebra).

Nas equações as letras representam seus termos e nas funções as letras representam variáveis.
Quando representamos o expoente de um número por uma variável independente teremos uma função exponencial.
Da mesma forma, quando representamos o logaritmando por uma variável independente, teremos uma função logaritmica.

A função logaritmica é a função inversa da função exponencial. Na função inversa as variáveis dependente e independente trocam de posição.

Seja a função exponencial f(x) = ax, x é uma variável independente.
A função inversa de f(x) é x = ag(x) => loga x = g(x). Portanto o logaritmo é o expoente de uma potência, é representado por uma variável dependente, g(x).

Exemplo: 2 é o logaritmo de 9 com a base 3.
3² = 9 => y = log39 => 3y = 3² => y = 2

2. Função Logarítmica

y=logax
a>0 e a ≠ 1
x∈ℝ*+ e y∈ℝ

Vejamos a figura abaixo:

Repare que: f(2) = 9 e g(2) = 0.631

Obs
:
Na função potência a variável indepentente é a sua base, já na função expoencial a variável independente é o expoente da potência.

A inversa da função potência é a função radiciação. A raiz quadrada de números negativos pertencem aos números complexos.

f(x)=x³: função potência.
f(x)=5x: função exponencial.
5²=25: potência.
log525=2: logaritmo com base 5 de 25 é igua a 2.
10=3,162277...=> (3,162277...)²=10 => log(3,162277...)=1/2
25=251/2=5: a radiciação é uma potência com expoente invertido da potência originária.

3. Propriedade dos Logaritmos

3.1. Logarítmo Igual a 1 (um)
Se o logaritmando é igual a base, então o logaritmo é igual a 1 (um):
loga (a) = 1 => a1 = a

3.2. Logarítmo Igual a 0 (zero)
Se o logaritmando é igual a 1 (um), então o logaritmo é igual a 0 (zero):
loga(1) = 0 => a0 = 1

3.3. Igualdade de Logarítmo de Base Iguais
Dois logaritmos com mesma base são iguais se possuirem o mesmo logaritmando:
loga b = logac => b = c

3.4. Logarítmo Exponencial
Uma potência cuja expoente é um logaritmo, ambos com bases iguais, então a potência é igual ao logaritmando:
alogab = b

Demonstração:
logab = y => ay = b

3.5. Logarítmo do Produto
O logaritmos do produto de dois fatores é igual a soma dos logaritmos desse fatores.
loga(b.c) = logab + logac

Demonstração:
loga (b) = x => b = ax
loga (c) = y => c = ay
Substiuição: loga (b.c) = loga (ax.ay) = loga (ax+y)
loga (ax+y) = ? => loga (ax+y) = x+y
Portanto: loga (b.c) = loga (b) + loga (c)

Obs:
loga (b.c) ≠ logab.c
loga (b+c) ≠ logab.logac

3.6. Logarítmo do Quociente
O logaritmo do quociente entre dois números é igual à diferença dos logaritmos entre numerador e denominador.
loga(b/c) = logab - logac

Demonstração:
loga (b) = x => b = ax
loga (c) = y => c = ay
Substiuição: loga (b/c) = loga (ax/ay) = loga (ax-y)
loga (ax-y) = ? => loga (ax-y) = x-y
Portanto: loga (b/c) = loga (b) - loga (c)

3.7.  Logarítmo da Potência
O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação da potência pelo logaritmo da base da potência:
logabn = n.logab

Demonstração:
logabn = loga(b.b. ...)
bn = (b1.b2. ... .bn)=> b=b1, b=b2 ,b= ..., b=bn
loga(b1.b2. ... .bn) = loga(b1) + loga(b2) +...+loga(bn)
Pela Regra do Produto:
loga(b.b. ... .b) = n.loga(b)

3.8. Logarítmo da Raiz
O logaritmos de uma raiz é igual a multiplicação do inverso do índice da raiz pelo logaritmo do radicando.
loganb = (1/n).loga(b)

Demonstração:
Uma raiz é uma potência com o índice inverso da raiz: nb = b1/n
loganb = loga(b)1/n
Pela Regra da Potência: loganb = loga(b)1/n =(1/n).loga(b)

3.9. Logarítmo cuja Base é uma Potência
O logaritmo de um número, cuja base do logaritmo é uma potência (an) é igual ao produto  do inverso do expoente dessa base (1/n) pelo logaritmo formado com base igual a base da potência (n) e mantendo o mesmo logaritmando (b).
logan (b)= 1/n.loga b

Demonstração:
logan (b) = x => [(an)]x = b => (anx) = b =>ax = nb = b1/n
loga(ax) = x =>loga(ax) = loga(b1/n) = (1/n).loga(b)

Mudança de Base
Vejamos como mudar a base de um logaritmo.



3.10. Inverso do Logarítmo

Já que logarítmo é um número:

4. Número de Napier
John Napier (1550-1617, foi um matemático escocês, inventor dos LOGARITMOS, o primeiro a utilizar o número irracional e, mesmo que implicitamente, pois em seus calculos utilizava 1/e. 
Em vez de multiplicar dois números podemos simplesmente transformá-los em potência de mesma base e somar seus expoentes.
Tabelamento
Potência
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ...
Expoente
0
1
2
3
4
5
6
7
...

Para uma base a = 2

Potência
1
2
4
8
16
32
64
128
...
Expoente
0
1
2
3
4
5
6
7
...

8 x 16 = 2(3+4) = 128

Como a potência com expoente com número naturais tem grande salto, Naiper utilizou como expoente entre o intervado de 0 (zero) a 1 (um) para a potência de 2.
Potência
1
1,07
1,14
1,23
1,31
1,41
1,5
1,62
...
Expoente
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
...
* Precisão com duas casas decimais.

 A medida que o expoente da potência de base a tende a 1, o resultado tende a a.
20,8 = 1,74
20,9 = 1,86
20,99 = 1,98



No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) efetua pequena correção no número e de Napier que é utilizado como base de função exponencial, f(x)=ex.



4.1. Logaritmo Natural ou Nepeniano
É um logaritmo cuja base é o número de Napier ou número de Euler.
loge(b) = In(b)

ax = eIn(ax)
Demonstração:
ax = eloge(ax)
loge(ax) = y => ey = ax

4.2. Função Logarítmica Natural
É a função inversa da função exponencial de Euler.
Função Exponencial de Euler
:
John Napier (1550-1617, foi um matemático escocês, inventor dos LOGARITMOS, o primeiro a utilizar o número e. No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) efetua pequena correção no número e de Napier que é utilizado como base de função exponencial.
f(x)=ex
ex = 1+x1+x2/2!+x3/3!+...
e2 = 20+21+22/2!+23/3!+24/4!+... = 1+2+2+1,3+0,7+0,26+...= 7,26+...

5. Logaritmo Negativo ou Colog
Sabemos que o logarítmo é:
logab = x
a>0 e a ≠ 1
b∈ℝ*+
e x∈ℝ
Chamamos de cologarítmo o logarítmo do inverso do logaritmando.
cologab =loga(1/b) = logab- = -logab

cologa=-blogab a>0 e a ≠ 1
b∈ℝ*+
e x∈ℝ
Como x∈ℝ, existem logarítmos negativos e logarítmos decimais (menores que 1 e maiores que 0 e menores que 0 e maiores que -1). O valor do logarítmo depende da sua base e do seu logaritmando.

A figura abaixo mostra as combinações possíveis com os valores da base a e do logaritmando b:
Base: a>0 e a≠1
Logaritmando: b∈ℝ*+
Logarítmo: x∈ℝ


Podemos concluir que existem logarítmos negativos e decimais. Conforme explicação do item anteior, os valor do logarítmo dependem da base a e do logaritmando b.

6.1. Logarítmo de Número Decimal

(b/10n) é uma fração com denominador multiplo de 10.

6.2. Logarítmo Igual a Número Decimal
loga(b) = x
 x é uma fração.

x assumirá valores fracionário com excessão do número 3 que é inteiro.





Característica: é a parte inteira do logarítmo. 3 para o exemplo acima.
Mantissa: é a parte decimal do logarítmo. 0,5 para o exemplo acima.

Para logarítmo de base 10 (dez) a quantidade de algarismos do logaritmando é igual a característica mais 1. Ou, A característica é igual a quantidade de algarismos da parte inteira do logaritmando menos 1.
Exemplos:
1) log10128 = 2,107...
128 tem 3 algarismos, então 3-1=2 (característica)
2) log1038 = 1,579...
38 tem 2 algarismos, então 2-1=1 (característica)

6.3. Logarítmo de Base 10
Também chamado de logarítmo decimal.
log10(b) = log b => 10logb = b
log10n = n
n∈ℕ

7. Linearização do Gráfico Logarítmico e Exponencial

Muito utilizado em pesquisas e testes, a linearização de escala permite fazer leituras com mais precisão uma vez que o gráfico é uma reta, ao contrário de uma curva muito fechada onde os valores da variável dependente ficam muito próximos um do outro.

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função logarítmica de base 10.


A linearização do gráfico logarítmico consiste em deixar o eixo-x na escala logarítmica de mesma base do gráfico logarítmico. 



Procede-se da mesma forma com o gráfico da função exponencial, porém a escala →logarítmica é no eixo-y.


A linearização do gráfico exponencial consiste em deixar o eixo-y na escala logarítmica de mesma base do gráfico exponencial.