Trigonometria


Prólogo
Trigono
significa triângulo e metria significa medidas, ou seja, Trigonometria é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. O reta é a menor figura da geometria depois do ponto, porém para determinar uma reta precisa-se de um ângulo que é formado por dois lados.

O ângulo requer o conceito de ponto, reta e circunferência. Quando os dois lados de um ângulo forem determinados seus valores, ter-se-á uma condição necessária para a determinação de um triângulo. Um ângulo que possui dois lados determinados formam um triângulo (LAL).

Um ponto é determinado por suas coordenadas, ou seja, requer o conceito de sistema de coordenadas.

Não existe ângulo sem reta e nem reta sem ângulo.

"Nasce" ao mesmo tempo a idéia de ângulo (arco que é uma divisão de uma circunferência), reta (dois pontos que formam um lado do ângulo) e triângulo formado pelo seguimento de reta que une dois lados de uma ângulo.

A comprensão do que foi dito até aqui é sintetizado na palavra PROPORCÃO DIRETA (usualmente empregado apenas o termo proporção). Cada ângulo possui uma constante chamada TANGENTE que é uma PROPORÇÃO DIRETA do SENO pelo COSSENO. Cada ponto de uma circunferência possue uma tangente.

O conceito de ponto, ângulo, reta e circunferência são interdependentes.

Grandezas Diretamente Proporcionais (a e b)
É uma divisão de grandezas: a/b = cte
Se multiplicarmos a por um valor x teremos de multiplicar b também por x para que a constante cte seja a mesma. Uma reta é determinada por sua tangente. Cada ângulo possui uma tangente. (a:seno e b: cosseno).

Grandezas Inversamente Proporcionais (a e b)
É uma multiplicação de grandezas: a.b = cte
Se multiplicarmos a por um valor x teremos de dividir b por x para que a constante cte seja a mesma.

1. Ângulo Central
Seja uma cicunferência de centro O e raio r. Então o ângulo central BÂC é igual ao arco BC. Ou seja, a medida de um ângulo pressupõe que seu vértice seja o centro de uma circunferência.

Soma dos Ângulo Internos de um Triângulo
A soma dos ângulos interno de um triângulo é 180º. O ângulo central é igual ao arco de circunferência. O ângulo inscrito na circunferência é metade do arco. Ângulos com lados oposto pelo vértices são iguais.

1.1. Ângulo Inscrito
O ponto A sobre a circunferência teremos o ângulo inscrito ou sobre ela OÂB tal que:


Obs: ângulos: nulo = 0º, 0º<agudo<90º, 90º<obtuso<180°, raso=180°.


1.2. Ângulo Excentrico
Seja um ponto P interno a circunferência e diferente do ponto central O, então:


1.3. Sistema de Coordenadas

Seja um ponto P pertencente a uma cirunferência de centro O (0,0) e raio igual a 1.
Eixo-x: eixo dos cossenos e eixo-y eixo dos senos. O ponto O(0,0) é o ponto de referência do sistema.

Sempre tgθ > senθ
Mesmo que o raio seja maior que 1, a proporção ou tangência é a mesma.

1.4. Ciclo Trigonométrico
Analisemos primeiro o sentido de ângulo.
O ciclo trigonométrico tem a origem das ordenadas no centro do ciclo de raio unitário. O sentido positivo do ângulo é anti-horário. O eixo-x representa o cosseno do ângulo e o eixo-y representa o seno do ângulo. O eixo das tangentes é paralela ao eixo-y e tem origem  no ponto B(1,0). O eixo das cotangente é paralela ao eixo-x e tem origem no ponto G(0,1).


Reiniciar


Seja θ um ângulo em radianos, como é sabido senθ e cosθ são iguais a sen(θ+2π.k) e cos(θ+2π.k), respectivamente, pois o ciclo trigonométrico se repete a cada 2π radianos.

Seja θ tal que 0 ≤ θ ≤ 2π.k sendo que k ∈ N.
Para θ = α tem-se sen(α) e cos(α).
Para θ = β tem-se sen(β) e cos(β).
Para θ = α+β tem-se sen(α+β) e cos(α+β).
N: números naturais (0,1,2,3,...)

O ponto P(x,y) é sempre dado porque é através dele que formará o ângulo θ e a reta s. Cada ângulo θ corresponderá a uma tangente (tgθ),  um seno (senθ) e um cosseno (cosθ) conforme gráfico abaixo.





Portanto, dado um ângulo θ, o seu senθ e o seu cosθ são valores de leitura que geralmente estão em uma tabela, vejamos alguns valores abaixo:
Radianos Número Seno Cosseno Tangente
Π/4 = 0,79 0,71 0,71 1
Π /3 = 1,05 0,87 0,5 1,73
Π/2 = 1,57 1 0
Π = 3,14 0 -1 0
5Π/4 = 3,93 -0,71 -0,71 1
4Π/3 = 4,19 -0,87 -0,5 1,73
3Π/2 = 4,71 -1 0
= 6,28 0 1 0


Exemplo de função inversa: raciocínio para entender sen-1ou asen, cos-1ou acos, tg-1ou atg.





2. Triângulo Retângulo
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º:  α  + ω  +  θ  = 180º .        
O triângulo retângulo possui um ângulo interno de 90ª, como α = 90º  então ω  +  θ = 90º.

2.1. Teorema de Pitágoras
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²

2.2. Relações Decorrentes do Teorema de Pitágoras.
Seja Pc a projeção do cateto c sobre a hipotenusa a e Pb a projeção do cateto b sobre a hipotenusa a, então:
h² = Pc.Pb
h . a = b.c
c² = a.
Pc
b² = a.Pb

A figura abaixo explica melhor:


2.2. Tipo de triângulo
a² < b² + c² Triângulo agudo: os três ângulos são menores que 90º.
a² > b² + c² Triângulo obtuso: possui um ângulo maior que 90º.

2.3. Relação Fundamental
a² = b² + c²
a²/a² = b²/a² + c²/a²
sen²θ + cos²θ = 1

3. Transformações Trigonométricas que se obtém apartir de outro Ângulo
3.1. Transformação de Soma em Produto

3.2. Transformação de Produto em Soma

3.3. Transformação de Soma e Diferença

3.4. Transformação em Ângulo Duplo

3.5. Transformação na Medade do Ângulo


4. Qualquer Triângulo
Para qualquer triângulo ABC vale a seguinte relação.

4.1. Sendo que A é a área do triângulo, r é o raio da circunferência inscrita , R é o raio da circunferência circunscrita, s é o semiperímetro.





4.2. Teorema dos Senos
A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo, esta constante é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo:

Na figura auxiliar acima, temos:
AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio)
AO = OH = raio da circunferência = R
Medidas dos lados do triângulo ABC:  AB = c, BC = a e AC = b.
Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo.
Podemos então escrever:
sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2R
Logo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R.

Analogamente chegaríamos às igualdades
c/senC = 2R
a/senA = 2R
Como estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:.



4.3. Teorema dos Cossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

a² = b² + c² -2.b.c.cosα
b² = b² + bc² -2.b.c.cosβ
c² = a² + b² -2.a.b.cosγ

Exemplo:


5. Demonstrações
5.1. Cosseno da soma de dois ângulos
A figura abaixo corresponde ao círculo trigonmétrico onde o ângulo α corresponde ao arco AB e o ângulo α + β corresponde ao arco AC. Foi traçado o arco AB com ângulo -β para auxiliar no cálculo. O triângulo DEB possui hipotenusa igual a BD. O triângulo ACF possui hipotenusa igual a AC.

sen-β = - senβ
senα cosα  senβ cosβ sen(α+β) cos(α+β)

AC² = BD² (I)
AC² = sen²(α+β) + (1- cos(α+β))² (II)
BD² = (cosα-cos-β)² + (senα-sen-β)² (III)

Desenvolvendo (II) temos:
AC² = sen²(α+β) + (1- cos(α+β))²
AC² = sen²(α+β) + 1² - 2.1.cos(α+β) + cos²(α+β)
Usa-se a relação fundamental para sen²(α+β) + cos²(α+β) = 1
AC² = 1 + 1 - 2.1.cos(α+β) = 2.(1 - cos(α+β))

Conforme (I), (II) e (III) tem-se:
2. - 2.cos(α+β)  (cosα-cos-β)² + (senα-sen-β)²
Como: cos-β = cosβ e sen-β = -senβ, fica:
2 - 2.cos(α+β)  (cosα-cosβ)² + (senα+senβ)²
2-2.cos(α+β) = cos²α -2.cosα.cosβ+cos²β+sen²α+2.senα.senβ+sen²β = 2-2.cosα.cosβ+2.senα.senβ
- 2.cos(α+β) = -2.cosα.cosβ + 2.senα.senβ
- cos(α+β) = -.cosα.cosβ + senα.senβ

cos(α+β) = cosα.cosβ - senα.senβ


5.2. Cosseno da diferença de dois ângulos
Como cosα = cos-α, senα = -sen-α, cosβ = cos-β e senβ = -sen-β: basta usar a fórmula do cosseno da soma.
cos(α+(-β)) = cosα.cos-β - senα.sen-β

cos(α-β) = cosα.cosβ + senα.senβ

5.3. Seno da soma de dois ângulos
Como já sabemos o cosseno da soma de dois ângulos, o seno da soma destes mesmos ângulos é igual ao cosseno do ângulo complementar ao ângulo que é suplementar ao soma destes dois ângulos. A figura abaixo mostra isso. Será visto primeiro a propriedade de dois ângulos que diferem entre si em 90º.

sen(α+β) = senα.cosβ + cosα.senβ

5.4. Seno da diferença de dois ângulos
A diferença nada mais é do que uma soma com o segundo ângulo negativo:
sen(α+(-β)) = senα.cos-β + cosα.sen-β
Como sen-β = - senβ e cos-β  = cosβ temos:

sen(α-β) = senα.cosβ - cosα.senβ

5.5. Tangente da soma de dois ângulos


5.6. Tangente da diferença entre dois ângulos
Para achar a tangente da diferença é só usar a tangente da soma com um ângulo negativo.
sen-β = -senβ => tag-β = -tagβ
tag((α+(-β)) =>

Ângulos Replementares e Simétricos

- Ângulos replementares: são o ângulo e o negativo dele próprio. Exemplo: 30º e -30º, 280º e -280º, etc. Como o arco parte do eixo-x, tal eixo é um bissetriz entre ambos os ângulos.
- Angulos Replementares Complementares: são dois ângulos cuja soma resulta em 90º, porém, para a simetria, tratamos de ângulos replementares.
- Angulos Replementares Suplementares: são dois ângulos cuja soma resulta em 180º, porém, para a simetria, tratamos de ângulos replementares.
Ângulos  replementares
(simétrico ao eixo-x)
Ângulos complementares
(simetrico bissetriz 1º Quad.)
Âgulos suplementares
(simétrico ao eixo-y)
sen-β = -senβ sen(π/2 - β) = +cosβ sen(π - β) = +senβ
cos-β = + cosβ cos(π/2 - β) = +senβ cos(π - β) = - cosβ
tan-β = -tanβ tan(π/2 - β) = +cotβ tan(π - β) = - tanβ
csc-β = -cscβ csc(π/2 - β) = +secβ csc(π - β) = +cscβ
sec-β = +secβ sec(π/2 - β) = +cscβ sec(π - β) = - secβ
cot-β = -cotβ cot(π/2 - β) = +tanβ cot(π - β) = - cotβ


5.7. Possibilidades de Transformações
1) 45º = 30º + 15º => 15º

2) sen3a = sen(2a+a) = sen2a*cosa+sena+cos2a =
2*sena*cos a*cosa+sena*(cos²a–sen² a) =
2*sena*cos²a+sena*cos²a–sen³a =
3*sena*cos²a–sen³a =
3*sena*(1–sen²a)–sen³a =
3*sena–3*sen³a–sena =
3*sena–4*sen³a

3) 15º/2 => 7,5º
4) 45º/2 => 22,5º
5)

6. Ângulo Entre Duas Retas

Seja r1= tgθ1.x e r2 = tgθ2.x duas retas quaisquer que se interceptam no plano.

6.1. Retas Paralelas
Seja r1= tgθ1.x e r2 = tgθ2.x duas retas quaisquer no plano, para que ambas sejam paralelas θ2 = θ1 ou θ2 = θ1+180º. Ou seja, ambas devem possuir a mesma declividade. Isso pode ser demosntrado pela fórmula da tangente da soma ou diferença entre dois ângulos iguais.

6.2. Perpendicularidade entre Duas Retas
Seja r1 uma reta com inclinação igual a θ1 e reta r2 um outra reta com inclinação igual a θ1+90º.
Partindo do pressuposto que θ1+θ2=90º chegamos a seguinte propriedade:

Obs:
Pelo triângulo retangulo sabemos que a tangente de uma ângulo agudo (menor que 90º) é igual ao inverso da tangente do ângulo complementar e vice-versa. tangente = cateto oposto/cateto adjacente. porém, estamos tratando de geometria analítica e não geometria pura.


7. Teorema de Tales
:
Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a uma razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.Podemos combinar vários tamanhos de segmentos correspondentes formando assim várias proporções diferentes.


7.1. Proporção da Soma ou Diferença no Teorema de Tales
A figura abaixo tem o mesmo princípio da figura anterior (semelhança de triângulos), acrescenta-se mais uma reta transversal na figura anterior, r3:


Determinante da Proporção


Exemplo:

7.2. Semelhança de Triângulo
Repare que a proporção é feita com no mínimo dois lados de um triângulo com dois lados do outro triângulo. Os casos LLA ou ALL não garantem a semelhança porque o ângulo entre os lados proporcionais podem variar.
Em dois triângulos semelhantes os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais.


Casos de semelhança:

Não é necessário que os três ou dois ângulos sejam iguais nem que os três lados sejam proporcionais para que dois triângulos sejam semelhantes. O destacado caso LAL, dois lados proporcionais e o ângulo entre os lados proporcionais iguais é suficiente para garantir a semelhança.



7.3. Congruência de Triângulo

Dois triângulos são congruentes se possuirem:
- Os três lados congruentes (LLL);
- Dois lados e o ângulo entre eles congruentes (LAL);
- Dois ângulos e o lado entre eles congruentes (ALA).



8. Euler
O alinhamento entre os pontos ortocentro, circuncentro e barricentro pode ser explicado pela semelhança de triângulo.

As proporções dos lados BC e BO são provadas pela semelhança entre ΔFCB e ΔOBD.