Permutação, Arranjo e Combinação


Aprender matemática e programação ao mesmo tempo é uma forma de aproveitar melhor o tempo. O código JavaScript da fatoração de um número é simples.

1. Fatorial de um número natural
A operação de multiplicação é caracterizada por um número chamado multiplicador vezes outro múmero chamado multiplicando cuja resultado se chama produto. Multiplicador e multiplicando também são chamados de fator.
Exemplo: 3 × 5 = 15
Três vezes cinco é igual a 5 + 5 + 5 = 15. Ou seja, o multiplicador indica quantas vezes o multiplicando será somado. Transformando a multiplicação em soma, o multiplicando passa a ser a parcela.

Fatorial de um número natural é a multiplicação do próprio numero pelo primeiro fator que é igual ao próprio número menos 1 (um) que é multiplicado pelo segundo fator que é igual ao fator anterior menos 1 (um), assim sucessivamente até chegar no fator igual a 1 ou 0 (1! = 0! = 1):
ℕ   = 0, 1, 2, 3,  ... Seja   n ℕ   tal   que   0 ! = 1   e   1 ! = 1 ! =  n × ( n 1 ) ! ! =  n × ( n 1 ) × ( n 2 ) ! ! =  n × ( n 1 ) × ( n 2 ) × ( n 3 ) × ... × ( 1 ) !

Vejamos como calcular o produto fatorial em JavaScript.
Código Fatorial de um número natural:

<html>
<head>
<title>Factorial</title>
<meta charset="utf-8">
<script language="JavaScript">
function fat(num) {// Função de Calculo do Fatorial
  var res=1;// Variável que vai conter o resultado final
  for (var k=num; k>=1; k--) { // Cálculo do fatorial
     res *= k;// Expressão reduzida da multiplicação
  }
  return(res);// Retorna  o fatorial de num
}// Fim da função
 
// Programa principal
function main() { 
  for (var k=1; k<=10; k++) {// Cálculo dos fatoriais entre 1 e 10
      document.write(k, "! = " , fat(k), "<br/>");
  }   
}
</script>
</head>
<body>
<h3>Cálculo Fatorial</h3>
<script language="JavaScript">
  main();
</script>
</body>
</html>
Resultado
Cálculo Fatorial
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800

Obs
: Função que retorna outra função.
Código
<html>
<head>
<title>Return</title>
<meta charset="utf-8">
</head>
<body>
<script language="JavaScript">
function faz(x) {
  return function retornar(x) { return x * 2; };
}
var doisX = faz();
document.write(doisX(4));
</script>
</body>
</html>
Resultado
8
Fonte: https://developer.mozilla.org/pt-BR/docs/Web/JavaScript/Reference/Statements/return
Data pesquisa: 20/10/2019
Comentário
:
- A função faz() retorna o texto "function retornar(x) { return x*2;};" porque uma função para imediatamente no ponto em que return é chamado.
- A função retornar() faz o mesmo cálculo que a variável doisX.
- A variável doisX recebe uma função como atributo. O nome dessa variável pode ser utlizado para chamar a função faz() como uma instância.

2. Permutações
É o fatorial da quantidade de elementos de um agrupamento. Um série ORDENADO com n elementos é capaz de criar n! séries diferentes de n elementos cada. Exemplo: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) e (3,2,1) => 3! = 3×2×1 = 6
A posição de cada elemento é relevante para a diferenciação. A ordem dos elementos é levada em consideração.
Ex: 12 ≠ 21 e ai ≠ ia.

Anagrama
Tem origem no grego antigo, ana, que significa voltar ou repetir, e graphein, que tem o significado de escrever. Uma palavra poder formar várias outras palavras trocando apenas suas letras de posição. Quando não há letra repetidas usa-se a permutação sem repetição para calcular o números de palavras com sentido ou não que podem ser formadas com as mesma letras juntas.
Exemplos:
Permutação de dois
: pé - ép => 2! = 1! + 1! = 2×1! = 2
Uma troca apenas na palavra original.

Permutação de três
foi: foi - fio - ifo - iof - ofi - oif => 3! = 2! + 2! + 2! = 3×2×1! = 6
Faz-se três permutações de dois.

Permutação de quatro
luar: 4! = 3! + 3! + 3! + 3! = 4×3! = 4×3×2! = 4×3×2×1!  = 24
alur - alru - arul - arlu - aulr - aurl: 3! permutação das três últimas letras
ular - ulra - urla - ural - ualr - uarl: 3! permutação das três últimas letras
luar - lura - lrua - lrau - laru - laur: 3! permutação das três últimas letras
rual - rula - raul - ralu - rlua - rlau: 3! permutação das três últimas letra
Faz-se quatro permutações de três ou doze permutações de dois.


Para cada letra do primeiro retângulo teremos seis percursos diferentes até uma letra do quarto retângulo. Cada percurso corresponde a uma palavra diferente. Como temos quatro letras diferentes, então 4 × 6 = 24 anagramas. 4! = 4×3! = 4×3×2×1! = 24.

2.1. Permutação Com Repetição
A tabela abaixo mostra o número de anagramas coma a palavra ELE.
E
L
E

E
E
L

E
E
L
repetido
E
L
E
repetido
L
E
E

L
E
E
repetido
P3 2   =   3! 2! = 3 × 2! 2! = 3






Palavra com duas letras repetidas produz a metade de anagramas (1/2!). Palavras com três letras repetidas produz um sexto de anagramas (1/3!). E assim sucesssivamente.

Permutaçao com repetiçao Pn n1,n2,...   =   n! n1! × n2! × ...
Exemplo:
Sabendo que em uma prova composta de vinte questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F?
Resposta
P 20 8,12 = 20! 8!12! = 125970

2.2. Permutação Circular
A figura abaixo possui quatro letras que formam 4! = 24 "palavras" diferente. Contudo, considerando um círculo com tais permutações, várias permutações que eram diferentes passarão a ser iguais. A permutação circular é calculada subraindo-se 1 (um) do número original e fazendo a permutação normalmente, como fosse uma abertura do círculo com a retirada de uma letra.

Cada elemento da primeira coluna possue um correspondente de forma circular nas outras três colunas.  O que caracteriza a permutação circular é a igualdade entre os grupos de elementos que passa a ser a sequência de elementos não importando o seu início que é coincidente ao termino, ou seja, os agrupamentos com elementos iguais cada elemento matém a mesma vizinhança, é sempre antecedido pelo mesmo elemento  e sempre seguido por um mesmo outro elemento. A subtração dos agrupamentos iguais da permutação obtém-se a permutação circular.

Considerando o círculo como uma mesa com quatro cadeiras marcadas com as letras A,B,C e D, quatro pessoas poderão ser dispostas com apenas 3! (seis) formas diferentes, conforme indicação abaixo.

A B C D….B A C D….C A B D….D A B C → A B C D = B C D A, C D A B, D A B C
A B D C….B A D C….C A D B….D A C B → A B D C = B D C A, C A B D, D C A B
A C B D….B C A D….C B A D….D B A C → A C B D = B D A C, C B D A, D A C B
A C D B….B C D A….C B D A….D B C A → A C D B = B A C D, C D B A, D B A C
A D B C….B D A C….C D A B….D C A B → A D B C = B C A D, C A D B, D B C A
A D C B….B D C A….C D B A….D C B A → A D C B = B A D C, C B A D, D C B A

Temos nesse caso  PC4 = (4 – 1)! = 3!

3. Arranjo Simples
Considere um conjunto com  n elementos distintos. Qualquer sequência de k desses elementos (todos distintos) é chamada de Arranjo Simples (0 ≤ p ≤ n, com n e k naturais).
A n,k = n! ( n k ) !
O que diferencia o arranjo simple da permutação é a quantidade de elementos para formar a seqüência do grupo. Assim como na permutação os elementos são ordenados, exemplo: (5,1) ≠ (1,5). Ou 51 ≠ 15.
Exemplo 1:
Em uma corrida com sete competidores quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
Resposta:
A 7,3 = 7! ( 7 3 ) ! = 210

Exemplo 2:
Com dez times de futebol quantos jogos é possível fazer?
A 10,2 = 10! ( 10 2 ) ! = 90
Obs: considera-se Equipe-A x Equipe-B ≠ Equipe-B x Equipe-A

Exemplo 3
Para um conjunto P = {A,B,C,D} quantos grupamentos com dois elementos são possiveis obter inclusive sem repetição?
Resposta:
A 4,2 = 4! ( 4 2 ) ! = 12
A= {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}

3.1. Arranjo Com Repetição
A n,k = n k
n: número de elementos do grupo principal.
p: número de elementos do arranjo com repetição.
Obs: a repetição se refere a possibilidade de um mesmo elemento repetir-se na formação do arranjo.

Exemplo:
Para um conjunto P = {A,B,C,D} quantos grupamentos com dois elementos são possiveis obter inclusive com repetição?
Resposta:
n = 4
k = 2
A(n,k)=nk
A(4,2)=4²=16
A= {AA, AB, AC, AD, BB, BA, BC, BD, CC, CA, CB, CD, DD, DA, DB, DC}

4. Combinações Simples ou Binomial Simples
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados k a k (k ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
C n,k = n! k! × ( n k ) ! n: numero de elementos do conjunto.  p: numero de elementos do subconjunto.
O número resultante da denotação acima é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial.
k: taxa
n-k: taxa complementar => Cn,k = Cn,n-k

Exemplo:
Para um conjunto P = {A,B,C,D} quantos sub-conjuntos de dois elementos são possiveis sem repetição?
Resposta
C 4,2 = 4! 2! × ( 4 2 ) ! = 6
C= {AB, AC, AD, BC, DB, DC}

4.1. Combinação Com Repetição
Um conjunto com n elementos distintos formam outros conjuntos com k (menor, igual ou maior que n) elementos sem restrição de repetição.
C n + k 1,k = ( n + k 1 ) ! k! × ( n 1 ) !

Exemplo

Para um conjunto P = {A,B,C,D} quantos conjuntos de dois elementos são possiveis sem restrição de repetição?
Resposta
Vamos achar o arranjo com repetição e eliminar os conjuntos iguais.
A= {AA, AB, AC, AD, BB, BA, BC, BD, CC, CA, CB, CD, DD, DA, DB, DC}
Usando a fórmula obtém o mesmo resultado:
C 4 + 2 1,2 = ( 4 + 2 1 ) ! 2! ( 4 1 ) ! = 10


5. Fórmula do Binômio de Newton
( a + b ) n = Σ k = 0 n n k . a n k . b k

Fórmula do Termo Geral
( a + b ) n = n 0 . a n . b 0 + n 1 . a n 1 . b + n 2 . a n 2 . b 2 ... T 1 = n 0 . a n . b 0   T 2 = n 1 . a n 1 . b   ... T k + 1 = n k . a n k . b k