Geometria Analítica Plana I (Fórmulas)


Foi dado prioridade ao estudo das fórmulas afim de compreendê-las, tentei evitar decorar sinais e variáveis pois  não colaboram com o entendimento. A base de estudo é o círculo trigonométrico, é fundamental a compreensão da tangente de um ângulo.

Após o estudo da Trigonometria (ponto, reta, ângulo, triângulos, semelhança de triângulo e congruência de triângulo) teremos base para o desenvolvimento do estudo da reta.

1. Reta
Para determinar uma reta é preciso de no mímino dois pontos. O seu ângulo de inclinação é determinado por estes dois pontos. Dois pontos da reta é o mesmo que um ponto da reta e seu ângulo de inclinação.

1.1. Tangente de um Ângulo ou Ponto (tan ou tg)
No círculo trigonométrico um ponto P pode pertencer ao 1º, 2º, 3º ou 4º quadrante. A tangente de um ângulo θ é igual a coordenada-y sobre a coordenada-x do ponto P para o respectivo ângulo.

tgθ = y/x => y = tgθ.x (equação da reta 0P)




Tangente de Ângulos Suplementares/Complementares
 
θ+α = 180º => tgα = -tgθ => tgθ = -tgα
θ+α = 90º => tgθ = 1/ tgα
Obs
:
eixo-x (cosseno), Domínio = [-1,1]
eixo-y (seno), Contradomínio = Imagem = [-1,1]
eixo-t (tangente)
tgθ = senθ/cosθ

1.2. Equação Reduzida da Reta

É sempre oportuno resolver uma equação da reta através de dois pontos de intersecção com os eixos. Para deterninar a inclinação é necessário dois pontos da reta.

A equação reduzida utiliza um ponto de intersecção com o eixo-y e o ângulo de inclinação.
Para x = 0 => y = ?
Para y = 0 => x = ?

a: coeficiente ângular
b: coeficiente linear

1.2.1. Reta Horizontal/Vertical
É uma constante.

A fórmula y = ax+b não server para representar retas verticas porque:
Inclinação (α)
Tangente

0 (0/1= 0)
180º
0 (0/-1 = 0)
90º
não existe
270°
não existe
Caso α = 0º => y = 0.x+ b => y = b. Teríamos uma reta horizontal já que y é constante.
Caso α = 90º => tg90º (NÃO EXISTE), a reta não corta o eixo-t, além de que:
tg90º = sen90º/cos90° = 1/0 => NÃO EXISTE divisão por zero.

IMPORTANTE: Em tecnologia, de forma geral, sempre existe uma tolerância, uma faixa de medida que não influência na funcionalidade de um dispositivo mecânico, elétrico, etc. Com isso, podemos trabalhar com faixa de medidas que pula, salta o ângulo de 90º. Devemos fazer operações matematicamente corretas nos projetos.

1.3. Equação Segmentada da Reta
Utiliza apenas os dois pontos de intersecção com os eixos.



1.4. Equação Geral da Reta
Uma reta é identificada no sitema cartesiano por dois pontos que produzem triângulos retos semelhantes.
 
Na figura abaixo os triângulos retângulos formados pela reta e sua inclinação tem os lados proporcionais. A constante de proporção é justamente a tangente do ângulo. O desenvolvimento dessa proporção gera a Equação Geral da Reta que pode ser disposta em forma de um determinante.

A tangente de um ângulo é sempre (para qualquer quadrante) obtida pela divisão da diferença entre a coordenada-y de módulo maior e a coordenada-y de módulo menor sobre a diferença das respectivas coordenadas-x.  O módulo é apenas uma indicação, não faz parte do cálculo.Padronizando da forma destacada acima diferenciamos o sistema cartesiano e o sistema trigonométrico. Usa-se o ponto mais externo da reta tendo como base a origem do sistema trigonométrico.
As coordenadas no sistema cartesiano e no sistema trigonométrico formam triângulos semelhantes.




1.4.1. Retas Paralelas
São retas que possuem as mesmas inclinaçoes ou coeficientes ângulares.

Duas retas paralelas possuem coeficientes A e B da equação geral da reta diretamentes proporcionais.

Os coeficientes A e B podem ser substituidos por A' e B' e vice-versa nas equações porque são proporcionais, ou seja, a tangente das duas reta não se alteram.
1.4.2. Retas coincidentes
É um caso particular de duas retas paralelas onde os três coeficiente são proporcionais ou b = b'.


1.4.3. Distância Entre Dois Pontos

Tanto faz fazer a subtração de coordenadas começando com P1 como foi feito ou com P2, pois o resultado será elevado ao quadrado. Usa-se a fórmula do teorema de Pitágoras.


1.4.4. Ponto Médio De Um Segmento
Por semelhança de triângulo, o ponto médio entre dois pontos (fica na hipotenusa) tem suas respectivas coordenadas como médias das coordenadas desse pontos.

1.6. Reta Normal A Outra
Reta r: A.x + B.y + C = 0
Reta n: y = -x/tgθ
Quando a reta r tem ângulo de inclinação θ = 0º ela é coincidente ao eixo-x, ou seja, positiva para a direita, o eixo-x serve de referência. A medida que a reta r gira em torno do ponto de intersecção com o eixo-x a inclinação aumenta e a orientação positiva da reta acompanha esse giro.
A reta n tem a própria reta r como referência.

Exercício Esquemático:
Dado uma reta r cuja função é y=ax+b qual é o ponto de intersecção com sua reta normal?
Resolução:
Já sabemos que o coeficiente ângular da reta n é o inverso e negativo da reta r, portanto é -1/a. Por definição de reta normal, n passa pelo origem do sistema de referência (0,0), consequentemente o seu coeficiente linear é zero. Com isso a função da reta normal é y=(-1/a)x.
Portanto o ponto de intersecção satisfaz ambas equações:
r: y=ax+b => ax-y+b=0
n: y=(-1/a)x=> (-1/a)x-y=0
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas encontraremos o ponto de intersecção.

1.6.1. Equação Geral Na Forma Normal
Uma mesma reta pode ter uma equação geral e uma equação na forma normal, essa equação na forma normal é a equação geral em função da reta normal, ou seja, a equação na forma normal NÃO é a equação da reta normal.
Na equação geral da reta cada ponto  é determinado  através de suas coordenadas que são calculadas pela tangente da sua inclinação. A figura anterior identificou a reta normal a uma outra reta e sua inclinação em função da inclinação dessa outra reta.
Vamos agora refazer a equação da outra reta em função da reta normal. Assim, poderemos comparar a equação geral da reta com a equação dessa mesma reta na forma normal.


1.6.2. Equação Geral Na Forma Normal Com Apenas Coeficientes Da Forma Geral
Conforme desenvolvimentos anteriores, a Equação Ax + By + C = 0 e x.cosβ + y.senβ - p = 0 tratam-se da mesma reta, a equação geral é obtida em função da sua própria inclinação (θ) e a equação geral na sua forma normal é obtida em função da inclinação da reta normal (β) a ela.
Como ambas equações são equações gerais da mesma reta, ou seja, retas coincidentes, os seus três coeficientes são proporcionais.


Uma alternativa para não decorar "regras" que indicam os sinais de k é montar o gráfico da reta e achar o valor de β, como cosβ/A = k e o valor de A é dado saberemos o valor de k. β e θ no sentido anti-horário (mesmo sentido).

Exemplo
:
Para uma reta com equação geral igual a 4x - 6y -10 = 0 deteminar o valor p entre a origem e a intersecção com a reta normal de inclinação β e reduzir a equação na forma normal.
Solução:

Equação Geral na Forma Normal => C e k = 1/√A²+B² => -p/C = k => -p = C.k
A vantagem de uma equação geral na forma normal com apenas coeficientes da reta geral é que em apenas uma equação há informação de duas retas, isto é, uma reta qualquer e a constante k que possibilita encontra os valores β e p da reta normal .
1.7. Distância De Um Ponto A Uma Reta
Dado a equação geral de uma reta e um ponto, a distância deste ponto a essa reta é calculado de imediato aplicando a fórmula abaixo.

Para o ponto P'(x',y') a distância até a reta r é d.
1.8. Distância Da Origem A Uma Reta
Distância da origem P'(0,0) a uma reta r. É um caso particular da distância de um ponto a uma reta onde Ax'=A.0=0 e By'=B.0=0;


1.9. Distância Entre Duas Retas Paralelas
Sejam r e s duas retas paralelas a distância de um ponto P' ∈ s até a reta r é:
Os coeficientes A e B são proporcionais respectivamente a A' e B', portanto as retas paralelas não se alteram se substiruir um pelo outro (A e B por A' e B') porque ambas retas possuem coeficientes angulares iguais, -A/B = -A'/B', ou seja, a declividade é a mesma.
r: Ax + By + C = 0
s: A'x + B'y + C' = 0=> Se somarmos C no dois membros teremos:
A'x + B'y + C' + C = C => A'x + B'y + C = C - C'
Basta substituir C-C' na fórmula da distância de um ponto a uma reta:

Obs: proporcionais não quer dizer iguais.

Outra alternativa é subtrair as distâncias dos dois ponto até a origem:


1.10. Intersecção e ângulo entre Duas Retas
São duas retas que tem um ponto em comum ou seja, não são paralelas (os coeficientes A e B não são proporcionais). O ponto em comum satisfaz as duas equações.
A geometria pura ensina que duas retas concorrentes (cruzam) formam 4 (quatro) ângulos sendo que os ângulos opostos pelo vétice são iguais.

Para determinar um ângulo entre duas retas orientadas devemos padronizar esse ângulo.
Para uma reta orientada no espaço tem-se determinado o seu ângulo de inclinação que determina a sua direção e o seu sentido. Por exemplo, inclinação de 0º a reta tem direção horizontal e sentido para direita, tal como o eixo-x. Ou seja, tratamos a reta como um vetor, porém, sem módulo.

Podemos definir um ângulo formado por duas retas orientadas no espaço como sendo formado pelo ponto de interseção entre ambas as retas e cuja lados são formados pela orientação positiva de tais retas. Podemos considerar também que um ângulo formado por duas retas orientadas é formado pelo ponto de interseção entre ambas as retas e pelos lados que seriam formados pelo ponto de intersesçao e um ponto de cada reta.

Fazendo dessa forma podemos generalizar o ângulo entre duas retas e não criar artifícios que enganam o entendimento. Se dizessemos que o ângulo entre duas retas varia, de 0º a 180º está correto, porém, não indica qual o sentido positivo da reta.


Para demonstrar através de desenho todas as possibilidades de ângulo entre duas retas orientadas vamos trabalhar com pontos. Assim, o ponto P é a interseção entre a reta r e a reta s. O ponto A pertence a reta r e o ponto B pertence a reta s. Portanto, conforme figura abaixo, o ângulo formado entre as retas r e s é o ângulo de vértice P e lados PA e PB.

Conforme figura acima os pontos A e B podem ocuparar 10 (dez) posições diferentes em relação ao eixo-x e ao eixo-y. Isso é decorrente de uma combinação com repetição dos pontos A e B em relação aos quatros quadrantes formados pelo eixo-x e eixo-y.
C4+2-1,2 = C5,2 = 5!/[(5-2)!.2!]=10

Que corresponde aos pares de quadrantes: ab, ac, ad, bc, bd, cd, aa, bb, cc, e dd.

Distribuindo os pontos A e B nos quadrantes a,b,c e d da figura acima teremos as seguintes possibilidades:

β1: inclinação da reta r. 
β2: inclinação da reta s.
β1>β2
θ = β1-β2

É comum afirmar que o ângulo entre duas retas que se cruzam variam de 0º a 180º, isso se deve a:
β1 de 0º a 180º tem declividade igual a tgβ1.
β1 de 180º a 360º tem declividade igual a tg(β1-180º).
β2 de 0º a 180º tem declividade igual a tgβ2.
β2 de 180º a 360º tem declividade igual a tg(β2-180º).

Por exemplo, ao girar a reta r em 30º ou 180º+30=210º a reta r terá a mesma declividade, porém com orientações opostas.

1.11. Equações Paramétricas da Reta

As equações paramétricas de uma reta são duas equações que estabelecem uma relação entre as variáveis principais, x e y, e outra variável real e secundaria t chamada parâmetro.
Por exemplo:

A variável x e a variável y dependem do parâmento t. Vejamos como fica o gráfico da função correspondente a equação acima:

x = t - 4 => t = x + 4
y = 3t + 8 => t = (y - 8)/3
x + 4 = (y - 8)/3 => y = 3x + 20

Exercícios resolvidos.
1) Determine a equação segmentária de uma reta que corta o eixo-x no ponto 3 e o eixo-y no ponto 8.
Solução:
A equação segmentaria depende apenas dos pontos de interseção com os eixos ordenados dessa forma devemos escrever que a reta é dada por:

2) Determine a equação geral da reta de equações paramétricas x = 2 + 3t e y = 5 – 4t.
Solução:
A forma mais simples é isolar t nas duas equações e depois igualá-los, veja:

Isolando os termos da igualdade no 1º membro temos:


3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3,2) e tem direção normal ao vetor n = (5, -4).
Solução:
Se a reta tem direção normal ao vetor (5,-4) então ela admite uma equação geral da forma 5x - 4y + C = 0, onde o coeficiente C será determinado pelo ponto P que pertence a reta.
5(3) - 4(2) + C = 0
15 - 8 + C = 0
C = -7
Logo, a equação geral da reta será:
5x - 4y - 7 = 0

Confirmação,vejamos a figura abaixo: f(x) = ax + b

A declividade (tangente) da reta vetor é:
[(-4) - 0]/(5 - 0) = -4/5
A reta normal ao vetor terá declividade: 5/4 (inverso e sinal contrário)
A equação da reta será: y = (5/4).x + b, como temos o ponto (3,2), então:
y = (5/4).3+b = 2 => b= -7/4
y = (5/4).x - 7/4 => (5/4).x -y - 7/4 = 0 (multiplicando por 4)
5.x -4y -7 = 0

2. Área de Um Triângulo
Para três pontos não colineares que formam um triângulo qualquer a sua área é a metade da base vezes a altura referente a base. A base corresponde a distância entre dois pontos e a altura corresponde a distância do outro ponto à base. Três pontos não colineares determinam um plano.
Revisão
:

Solução:



Exercício 1
As equações dos lados de um quadrilátero são 3x - 8y + 36 = 0, x + y -10 = 0, 3x - 8y - 19 = 0 e x + y + 1 = 0. Mostrar que a figura é um paralelogramo e deteminar as coordenadas de seus vértices.
Solução:
Para que as quatro equações forme um paralelogramo é necessário que haja duas retas paralelas que interceptam outras duas retas que também são paralelas.
Retas paralelas possuem os coeficientes A e B proporcionais:
Montar o gráfico:
r1: 3x - 8y + 36 = 0 => y = (3/8).x +9/2 => Para x = 0 y = 9/2. Para y = 0 x = -12.
r2: 3x - 8y - 19 = 0 => y = (3/8).x - 19/8 = > Para x = 0 y = -19/8. Para y = 0 x = 19/3
r3: x + y -10 = 0 => y = -x + 10 => Para x = 0 y = 10. Para y = 0 x = 10.
r4: x + y + 1 =0 => y = -x - 1 => Para x = 0 y = -1. Para y = 0 x = -1.
r1//r2 e r3//r4
Calcular os sistemas:
Duas retas se interceptam quando não são paralelas, portanto r1 e r2 interceptam r3 e r4.


Exercício 2
1) Mostrar que três retas concorrentes A1x+B1y+C1=0, A2x+By2+C2=0 e A3x+B3y+C3=0 possue o determinante formado por seus coeficientes igual a zero:

Solução:
Sistema de três equações e três incógnitas.


Exercício 3
2) Determinar analiticamente que as medianas de qualquer triângulo são concorrentes.
Solução:
Basta determinar que duas medianas não são coincidentes e nem paralelas, logo são concorrentes em um ponto. Se duas medianas são concorentes duas a duas, logo as três medianas são concorentes.

Obs:
Análise geométrica.


Exercício 4:
Dados três pontos distintos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) em uma circunferência, como achar seu ponto central?

Solução:
Propriedade: três pontos não colineares formam um triângulo, cuja área é diferente de zero (0).
A circunferência circunscreve o triângulo.


O centro da circunferência é a intersecção entre as mediatrizes chamado circuncentro. As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo e os interceptam no respectivo ponto médio. Portanto, as mediatrizes pertencem as retas normais aos respectivos lados do triângulo.
Na figura abaixo temos:
Os pontos P1(x1,y2), P2(x2,y2) e P3(x3,y3).
Os pontos médios M1(xm1,ym1) e M2(xm2,ym2)
r1: reta que contem os pontos P1 e P2, cuja inclinação é α1.
r2: reta que contem os pontos P2 e P3, cuja inclinação é α2.
n1: reta normal a r1 em M1, cuja inclinação é θ1.
n2: reta normal a r2 em M2, cuja inclinação é θ2.

Etapa1: achar os pontos médios.
xm1 = (x1+x2)/2 e ym1 = (y1+y2)/2 => M1(xm1,ym1)
xm2 = (x2+x3)/2 e ym2 = (y2+y3)/2 => M2(xm2,ym2)

Etapa2: achar as inclinações das retas r1 e r2.
tgα1 = (y2-y1)/(x2-x1)
tgα2 = (y3-y2)/(x3-x2)
Obs:
tgα1 = (y1-y2)/(x1-x2)
tgα2 = (y2-y3)/(x2-x3)

Etapa3: achar as inclinações das retas normais n1 e n2.
tgα1 = -1/tgθ1 => tgθ1 = -1/tgα1
tgα2 = -1/tgθ2 => tgθ2 = -1/tgα2

Etapa4: montar as equações das retas normais n1 e n2.
A declividade de n1 (tgθ1) e o ponto M1(xm1,ym1) já foram calculados, montar a equação1 com C(xc,yc).
tgθ1 = (ym1 - yc)/(xm1-xc) => equação 1

A declividade de n2 (tgθ2) e o ponto M2(xm2,ym2) já foram calculados, montar a equação2 com C(xc,yc).
tgθ2 = (ym2 - yc)/(xm2-xc) => equação 2

Etapa5: resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas.
xc = ? e yc = ? (só substiruir os dados nas fórmulas)

3. Teorema de Tales:
Se duas retas são transversais a um conjunto de duas ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a uma razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.Podemos combinar vários tamanhos de segmentos correspondentes formando assim várias proporções diferentes.

IMPORTANTE: embora duas retas transversais a várias retas paralelas determinam vários triângulos semelhantes pelo caso AAA, porém, a razão entre os lados homólogos é necessariamente igual apenas entre dois triângulo semelhantes pelo caso LAL.
Semelhança de triângulo pelo caso AAA é diferente de semelhança pelo caso LAL.

3.1. Caso de Semelhança de Triângulos
:
Através do Teorema de Tales notamos que dois triângulos são semelhantes quando possuem os três lados proporcionais e consequentemente os três ângulos congruentes ou iguais.
Conforme figura acima além da semelhança de triângulo retângulo (azuis e amarelos) temos a semelhança dos triângulos quaiquer ΔPAC e ΔPBD.
Casos deSemelhança:
- Caso LLL ou AAA. Dois triângulos são semelhantes se possuem os lados homólogos proporcionais e consequentemente os ângulos correspondentes são congruentes. 
- Caso AA, como a soma dos ângulos interno de um triângulo são 180º, basta que dois triângulo tenham dois ângulos congruentes ordenadamente para serem semelhantes. Caso AA que na verdade é o próprio caso AAA.
- Caso LAL. Dois triângulos que possuem dois lados homólogos proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Neste caso para dois triângulos retângulos semelhantes (LAL) as duas hipotenusas estão em linha reta.

Obs:
- Lados homólogos de dois triângulo: opostos ao mesmo ângulo.
- LAA ou AAL => mesmo que AAA (somatórias ângulos interno =180º).
- LLA ou ALL (não é semelhança).



3.2. Determinantes
Montemos uma matriz com os numeradores na primeira linha e denominadores na segunda linha da proporção formada entre duas linhas concorrentes transversais a duas retas paralelas.
O produto dos extremos (a e d) é igual ao produto dos meios (b e c) cuja subtração entre ambos é o determinante da matriz montada.
Conclusão:
Determinante igual a zero significa uma reta.

Cada proporção matém o mesmo determinante.

3.3. Proporção da Soma ou Diferença no Teorema de Tales

A figura abaixo tem o mesmo princípio da figura anterior (semelhança de triângulos), acrescenta-se mais uma reta transversal na figura anterior, r3:


Determinante da Proporção

Exemplo:

Obs 1:
Duas retas não coincidentes e não paralelas Formam Um Sistema De Duas Equações
ax + by = c
a'x + b'y = c'

Cada equação do sistema representa uma reta no plano catesiano.
Casos possíveis.
- Sistema Possível e Determinado:
a/a' ≠ b/b'
Duas retas que não são paralelas nem coincidentes, são portanto concorrentes, há um ponto em comum.

- Sistema Possível e Indeterminado:
a/a' = b/b' = c/c'
Há infinitos pontos em comum, ou seja, retas coincidentes.

- Sistema Impossível e Indeterminado:
a/a=b/b'≠c/c'
Representa duas retas paralelas, não há nenhum ponto solução do sistema.