Geometria Analítica Plana I (Fórmulas)

Foi dado prioridade ao estudo das fórmulas afim de compreendê-las, tentei evitar decorar sinais e variáveis pois não colaboram com o entendimento. A base de estudo é o círculo trigonométrico, é fundamental a compreensão da tangente de um ângulo.

1. Reta
Para determinar uma reta é preciso de no mímino dois pontos. O seu ângulo de inclinação é determinado por estes dois pontos.

1.1. Tangente
No círculo trigonométrico um ponto P pode pertencer ao 1º, 2º, 3º ou 4º quadrante. A tangente de um ângulo θ é igual a coordenada-y sobre a coordenada-x do ponto P para o respectivo ângulo.

1.2. Equação Reduzida da Reta
É sempre oportuno resolver uma equação da reta através de dois pontos de intersecção com os eixos.
Utiliza um ponto de intersecção com o eixo-y e o ângulo de inclinação.
Para x = 0 => y = ?
Para y = 0 => x = ?
A tangente de um ângulo é sempre (para qualquer quadrante) obtida pela divisão da diferença entre a coordenada-y de módulo maior e a coordenada-y de módulo menor sobre a diferença das respectivas coordenadas-x. O módulo é apenas uma indicação, não faz parte do cálculo.

a: coeficiente ângular
b: coeficiente linear

1.2.1. Reta Horizontal/Vertical
É uma constante.

1.3. Equação Segmentada da Reta
Utiliza apenas os dois pontos de intersecção com os eixos.

Determinante

\begin{array}{l} |\begin{matrix} x & y & 1 \\ 0 & q & 1 \\ p & 0 & 1 \end{matrix}| = 0 = qx + py - pq \\ qx + py = pq \end{array}

1.4. Equação Geral da Reta
Uma reta é identificada por dois pontos que produzem triângulos retos semelhantes.
Caso de Semelhança de Triângulos:
- Dois triângulos são semelhantes se possuem os lados homólogos proporcionais e consequentemente os ângulos correspondentes são congruentes. Caso LLL ou AAA. Há dois outros casos de semelhanças.
- Como a soma dos ângulos interno de um triângulo são 180º, basta que dois triângulo tenham dois ângulos congruentes ordenadamente para serem semelhantes. Caso AA que na verdade é o próprio caso AAA.
- Dois triângulos que possuem dois lados homólogos proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Caso LAL. Neste caso para dois triângulos retângulos semelhantes (LAL) as duas hipotenusas estão em linha reta.

Na figura abaixo os triângulos retângulos formados pela reta e sua inclinação tem os lados proporcionais. A constante de proporção é justamente a tangente do ângulo. O desenvolvimento dessa proporção gera a Equação Geral da Reta que pode ser disposta em forma de um determinante.

Equação Geral da Reta na Forma de Determinante:

|\begin{matrix} x & y & 1 \\ x1 & y1 & 1 \\ x2 & y2 & 1 \end{matrix}| = Ax + By + C = 0

1.4.1. Retas Paralelas
São retas que possuem as mesmas inclinaçoes ou coeficientes ângulares.

Duas retas paralelas possuem coeficientes A e B da equação geral da reta diretamentes proporcionais.

Os coeficientes A e B podem ser substituidos por A' e B' e vice-versa nas equações porque são proporcionais, ou seja, a tangente das duas reta não se alteram.
1.4.2. Retas coincidentes
É um caso particular de duas retas paralelas onde os três coeficiente são proporcionais ou b = b'.

1.4.3. Distância Entre Dois Pontos
Tanto faz fazer a subtração de coordenadas começando com P1 como foi feito ou com P2, pois o resultado será elevado ao quadrado. Usa-se a fórmula do teorema de Pitágoras.

1.4.4. Ponto Médio De Um Segmento
Por semelhança de triângulo, o ponto médio entre dois pontos (fica na hipotenusa) tem suas respectivas coordenadas como médias das coordenadas desse pontos.

1.6. Reta Normal A Outra
Reta r: A.x + B.y + C = 0
Reta n: y = -x/tgθ
Quando a reta r tem ângulo de inclinação θ = 0º ela é coincidente ao eixo-x, ou seja, positiva para a direita, o eixo-x serve de referência. A medida que a reta r gira em torno do ponto de intersecção com o eixo-x a inclinação aumenta e a orientação positiva da reta acompanha esse giro.
A reta n tem a própria reta r como referência.

1.6.1. Equação Geral Na Forma Normal
Uma mesma reta pode ter uma equação geral e uma equação na forma normal, essa equação na forma normal é a equação geral em função da reta normal, ou seja, a equação na forma normal NÃO é a equação da reta normal.
Na equação geral da reta cada ponto é determinado através de suas coordenadas que são calculadas pela tangente da sua inclinação. A figura anterior identificou a reta normal a uma outra reta e sua inclinação em função da inclinação dessa outra reta.
Vamos agora refazer a equação da outra reta em função da reta normal. Assim, poderemos comparar a equação geral da reta com a equação dessa mesma reta na forma normal.

1.6.2. Equação Geral Na Forma Normal Com Apenas Coeficientes Da Forma Geral
Conforme desenvolvimentos anteriores, a Equação Ax + By + C = 0 e x.cosβ + y.senβ - p = 0 tratam-se da mesma reta, a equação geral é obtida em função da sua própria inclinação (θ) e a equação geral na sua forma normal é obtida em função da inclinação da sua reta normal (β).
Como ambas equações são equações gerais da mesma reta, ou seja, retas coincidentes, os seus três coeficientes são proporcionais.

p ≥ 0
Para 0º ≤ β < 180º
Sinais de k:
Se C ≠ 0 k tem sinal contrário ao de C.
Se C = 0 e B ≠ 0 k e B concordam em sinais.
Se C = B = 0 k e A concordam em sinais.

Uma alternativa para não decorar os sinais de k é montar o gráfico da reta e achar o valor de β, como cosβ/A = k e o valor de A é dado saberemos o valor de k. β e θ no sentido horário.

Exemplo:
Para uma reta com equação geral igual a 4x - 6y -10 = 0 deteminar o valor p entre a origem e a intersecção com a reta nornal e de inclinação β da reta nornal e reduzir a equação na forma normal.
Solução:

Informações: C e k = √A²+B² => -p/C = k => -p = C.k
A vantagem de uma equação geral na forma normal com apenas coeficientes da reta geral é que em apenas uma equação há informação de duas retas, isto é, uma reta qualquer e sua reta normal .
1.7. Distância De Um Ponto A Uma Reta
Para o ponto P'(x',y') a distância até a reta r é d.

1.8. Distância Da Origem A Uma Reta
Distância da origem P'(0,0) a uma reta r. É um caso particular da distância de um ponto a uma reta onde Ax'=A.0=0 e By'=B.0=0;

1.9. Distância Entre Duas Retas Paralelas
Sejam r e s duas retas paralelas a distância de um ponto P' ∈ s até a reta r é:
Os coeficientes A e B são proporcionais respectivamente a A' e B', portanto as retas paralelas não se alteram se substiruir um pelo outro (A e B por A' e B') porque ambas retas possuem coeficientes angulares iguais, -A/B = -A'/B', ou seja, a declividade é a mesma.
r: Ax + By + C = 0
s: A'x + B'y + C' = 0=> A'x + B'y = - C'
Como Ax + By pode substituir A'x + B'y => Ax + By + C = C - C'

Obs: proporcionais não quer dizer iguais.

1.10. Intersecção De Duas Retas
São duas retas que tem um ponto em comum ou seja, não são paralelas (os coeficientes A e B não são proporcionais). O ponto em comum satisfaz as duas equações.

1.11. Equações Paramétricas da Reta
As equações paramétricas de uma reta são duas equações que estabelecem uma relação entre as variáveis principais, x e y, e outra variável real e secundaria t chamada parâmetro.
Por exemplo:

\{\begin{cases} x = t - 4, t \in &reals; \\ y = 3 t + 8 \end{cases}

Exercícios resolvidos.
1) Determine a equação segmentária de uma reta que corta o eixo-x no ponto 3 e o eixo-y no ponto 8.
Solução:
A equação segmentaria depende apenas dos pontos de interseção com os eixos ordenados dessa forma devemos escrever que a reta é dada por:

\frac{x}{3} + \frac{y}{8} = 1

2) Determine a equação geral da reta de equações paramétricas x = 2 + 3t e y = 5 – 4t.
Solução:
A forma mais simples é isolar t nas duas equações e depois igualá-los, veja:

\begin{array}{l} x = 2 - 3 t \Leftrightarrow t = \frac{2 - x}{3} \\ y = 5 - 4 t \Leftrightarrow t = \frac{5 - y}{4} \end{array}

Isolando o t das duas equações, vem:

\begin{array}{l} \frac{2 - x}{3} = \frac{5 - y}{4} \Leftrightarrow 8 - 4 x = 15 - 3 y \\ 4 x - 3 y + 7 = 0 \end{array}

3) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3,2) e tem direção normal ao vetor n = (5, –4).
Solução:
Se a reta tem direção normal ao vetor (5,-4) então ela admite uma equação geral da forma 5x – 4y + c = 0, onde o ponto c será determinado pelo ponto P que pertence a reta.
5(3) – 4(2) + c = 0
15 – 8 + c = 0
C = -7
Logo, a equação geral da reta será:
5x – 4y – 7 = 0

2. Área de Um Triângulo
Para três pontos não colineares que formam um triângulo qualquer a sua área é a metade da base vezes a altura referente a base. A base corresponde a distância entre dois pontos e a altura corresponde a distância do outro ponto à base. Três pontos não colineares determinam um plano.

Exercício 1
As equações dos lados de um quadrilátero são 3x - 8y + 36 = 0, x + y -10 = 0, 3x - 8y - 19 = 0 e x + y + 1 = 0. Mostrar que a figura é um paralelogramo e deteminar as coordenadas de seus vértices.
Solução:
Para que as quatro equações forme um paralelogramo é necessário que haja duas retas paralelas que interceptam outras duas retas que também são paralelas.
Retas paralelas possuem os coeficientes A e B proporcionais:
Montar o gráfico:
r1: 3x - 8y + 36 = 0 => y = (3/8).x +9/2 => Para x = 0 y = 9/2. Para y = 0 x = -12.
r2: 3x - 8y - 19 = 0 => y = (3/8).x - 19/8 = > Para x = 0 y = -19/8. Para y = 0 x = 19/3
r3: x + y -10 = 0 => y = -x + 10 => Para x = 0 y = 10. Para y = 0 x = 10.
r4: x + y + 1 =0 => y = -x - 1 => Para x = 0 y = -1. Para y = 0 x = -1.
r1//r2 e r3//r4
Calcular os sistemas:
Duas retas se interceptam quando não são paralelas, portanto r1 e r2 interceptam r3 e r4.

Exercício 2
1) Mostrar que três retas concorrentes A1x+b1y+C1=0, A2x+By2+C2=0 e A3x+B3y+C3=0 possue o determinante formado por seus coeficientes igual a zero:

|\begin{matrix} A1 & B1 & C1 \\ A2 & B2 & C2 \\ A3 & B3 & C3 \end{matrix}| = 0

Solução:
Sistema de três equações e três incógnitas.

\{\begin{matrix} A1x & B1y & C1 = 0 \\ A2x & B2y & C2 = 0 \\ A3x & B3y & C3 = 0 \end{matrix}

Exercício 3
2) Determinar analiticamente que as medianas de qualquer triângulo são concorrentes.
Solução:
Basta determinar que as medianas não são coincidentes e nem paralelas, logo são concorrentes em um ponto.
Propriedade: três pontos não colineares formam um triângulo, cuja área é diferente de zero (0).

Exercício 4:
Dados três pontos distintos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) em uma circunferência, como achar seu ponto central?

Solução:
Três pontos não colineares formam um triângulo.
A circunferência circunscreve o triângulo.

O centro da circunferência é a intersecção entre as mediatrizes chamado circuncentro. As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo e os interceptam no respectivo ponto médio. Portanto, as mediatrizes pertencem as retas normais aos respectivos lados do triângulo.
Na figura abaixo temos:
Os pontos P1(x1,y2), P2(x2,y2) e P3(x3,y3).
Os pontos médios M1(xm1,ym1) e M2(xm2,ym2)
r1: reta que contem os pontos P1 e P2, cuja inclinação é α1.
r2: reta que contem os pontos P2 e P3, cuja inclinação é α2.
n1: reta normal a r1 em M1, cuja inclinação é θ1.
n2: reta normal a r2 em M2, cuja inclinação é θ2.

Etapa1: achar os pontos médios.
xm1 = (x1+x2)/2 e ym1 = (y1+y2)/2 => M1(xm1,ym1)
xm2 = (x2+x3)/2 e ym2 = (y2+y3)/2 => M2(xm2,ym2)

Etapa2: achar as inclinações das retas r1 e r2.
tgα1 = (y2-y1)/(x2-x1)
tgα2 = (y3-y2)/(x3-x2)
Obs:
tgα1 = (y1-y2)/(x1-x2)
tgα2 = (y2-y3)/(x2-x3)

Etapa3: achar as inclinações das retas normais n1 e n2.
tgα1 = -1/tgθ1 => tgθ1 = -1/tgα1
tgα2 = -1/tgθ2 => tgθ2 = -1/tgα2

Etapa4: montar as equações das retas normais n1 e n2.
A declividade de n1 (tgθ1) e o ponto M1(xm1,ym1) já foram calculados, montar a equação1 com C(xc,yc). tgθ1 = (ym1 - yc)/(xm1-xc) => equação 1

A declividade de n2 (tgθ2) e o ponto M2(xm2,ym2) já foram calculados, montar a equação2 com C(xc,yc).
tgθ2 = (ym2 - yc)/(xm2-xc) => equação 2

Etapa5: resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas.
xc = ? e yc = ? (só substiruir os dados nas fórmulas)

Obs 1:
Duas retas não coincidentes e não paralelas Formam Um Sistema De Duas Equações
ax + by = c
a'x + b'y = c'

Cada equação do sistema representa uma reta no plano catesiano.
Casos possíveis.
- Sistema Possível e Determinado:
a/a' ≠ b/b'
Duas retas que não são paralelas nem coincidentes, são portanto concorrentes, há um ponto em comum.

- Sistema Possível e Indeterminado:
a/a' = b/b' = c/c'
Há infinitos pontos em comum, ou seja, retas coincidentes.

- Sistema Impossível e Indeterminado:
a/a=b/b'≠c/c'
Representa duas retas paralelas, não há nenhum ponto solução do sistema.