Geometria II

Em Geometria I estudou-se a reta, base para as demais figuras, a proporcionalidade constante entre as coordenadas de cada ponto (tangente) é a propriedade da reta que o caracteriza e a distingui das demais curvas, (y/x)=k => y=kx (k: tangente ou constante linear)
A circunferência se confunde com a concepção de grau da qual a própria reta depende.

1. Preâmbulo
1.1. Flexa (geometria pura)
A reta secante forma uma arco e uma corda das quais obtém-se a sua flexa.



1.2. Três Pontos Colineares
Conforme figura abaixo, dados dois pontos P1 e P2, o ponto P3 é colinear a P1 e P2 se suas coordenadas são obtidas da combinação linear das coordenadas de P1 e P2. O coeficiente ângular da reta r é o mesmo. r: f(x)=ax+b


Pela Proporcionalidade  do Teorema de Tales podemos explicar que:
Se um ponto P(x,y) pertence a uma reta r, então o ponto P'(x.k,y.k) e o Ponto P''(x±k.x,y±k.y) também pertencem a reta r.
Se os pontos P1(x1,y1) e P2(x2,y2) pertencem a uma reta r, então o ponto P3(x3,y3) também pertence tal que:
x3=k.x1 => y3=k.y1
x3=k.x2 => y3=k.y2
x3=x1±k.x2 => y3=y1±k.y2
x3=x2±k.x1 => y3=y2±k.y1
x3=k.x2±k.x1 => y3=k.y2±k.y1

Vejamos a proporcionalidade na figura abaixo:

Para o triângulo reto tem-se a²=b²+c² => (a.k)²=(b.k)²+(c.k)²

Obs:


2. Equação Padrão ou Reduzida da Circunferência. Função da Circunferência.
Depois da reta a circunferência é a figura mais importante no desenho em geral, por isso devemos compreendê-la bem.
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto central fixo, no mesmo plano. A distância do centro a qualquer ponto da circunferência se chama raio que é constante.
Quando se refere a um ponto fixo se subentende um sistema de coordenadas para referenciá-lo. No sistema de coordenadas por sua vez podemos criar uma relação entre variável independente e variável dependende que se consubstância no conceito de funções.
Vejamos a seguir que uma função é uma transformação de um equação.


P(x,y): ponto pertencente a circunferência.
C(xc,yc): centro.
r: raio (decorre dos pontos P e C).
Domínio da função f(x): [xc-r,xc+r]
xc, yc e r: são três constantes arbitrárias, independentes e determinadas (arbitrárias: qualquer valor real, independentes: uma não depende da outra, e determinadas: três existências distintas). Quando as três  constantes forem determinadas, ou seja, atribuido algum valor para cada uma, assim a circunferência ficará determinada. Caso haja a determianção de uma ou duas condiçoes apenas a circunferência não será única, ou seja, não determinada. A condição ou constante faltante para a determinação da circunferência pode ser chamada de parâmetro. Por exemplo, circunferências de mesmo centro formam uma família uniparamétrica de circunferência (raios diferentes e mesmo centro).

Obs1: Uma função nada mais é do que uma transformação de uma equação. Exemplo: a equação da tangente transforma-se em função de 1º grau (reta). A equação possui termos independente. A função possui variável dependente e independente.
Obs2:
Na figura acima um mesmo elemento do conjunto domínio tem mais de uma imagem e portanto a relação entre x e y não é uma função levando em consideração a relação unívoca (cada x tem um y diferente). Porém, a função tratada aqui é a função paramétrica, cuja parâmetro é a variação de ângulo de 0º a 360º.
Para cada ângulo t temos um único par x(t) e y(t), ou seja, um único ponto P(x,y).
Obs3:

Obs4: isolando y da equação padrão teremos duas funções (±), a posição da circunferência depende apenas do seu centro (xc,yc).
Obs5: dado um função f(x)=y a sua inversa se refere a "inversa de dependência" entre as variáveis x e y. Não confundir com inversão entre numerador e denominador como ocorre entre a função cossecante e a função seno, entre a função secante e a função cosseno e entre a função cotangente e a função tangente.



Equação Padrão ou Reduzida da Circunferência:
(x-xc)² + (y-yc)² = r²
Dado o ponto C(xc,yc) no centro da circunferência e o seu raio r, cada ponto P(x,y) pertencente a circunferência satisfazerá a equação padrão, assim, a circunferência poderá ser plotada relacionando as coordenadas  de seus pontos na função f(x) = y.

Equação Simplificada da Circunferência, quando C(0,0), ou seja, xc=0 e yc=0:
x² + y² = r²

Determinação de uma circunferência por pontos:
Uma circunferência pode ser determinada de várias formas. As mais simples são:
- Três pontos distintos (determinam também um plano ou um triângulo).
- Um ponto da circunferência e o seu ponto central.
- O ponto central e o valor do raio (decorrente da anterior).

2.1. Circunferência Determinada por Três Pontos Distintos
Para três pontos distintos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) pertencentes a uma circunferência, montar sua fórmula (determinação) devemos achar as coordenadas de seu ponto central e o valor do raio.

Vejamos a circunferência abaixo:
Cabe salientar que três pontos não colineares formam um triângulo e uma circunferência que passa por esse três pontos circunscreve o triângulo. O triângulo está inscrito na circunferência.

O centro da circunferência que circunscreve o triângulo é a intersecção entre as mediatrizes do triângulo inscrito, essa intersecção é chamada de circuncentro. As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo no respectivo ponto médio. Portanto, as mediatrizes pertencem as retas normais aos respectivos lados do triângulo. Repare que se as mediatrizes se interceptam duas a duas. As três mediatrizes se interceptam em um único ponto porque ´tal ponto é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo interno.

Na figura abaixo temos:
Os pontos P1(x1,y2), P2(x2,y2) e P3(x3,y3).
Os pontos médios dos lados são M1(xm1,ym1) e M2(xm2,ym2)
r1: reta que contém os pontos P1 e P2, cuja inclinação é α1.
r2: reta que contém os pontos P2 e P3, cuja inclinação é α2.
n1: reta normal a r1 em M1, cuja inclinação é θ1.
n2: reta normal a r2 em M2, cuja inclinação é θ2.

Etapa1: achar os pontos médios.
xm1 = (x1+x2)/2 e ym1 = (y1+y2)/2 => M1(xm1,ym1)
xm2 = (x2+x3)/2 e ym2 = (y2+y3)/2 => M2(xm2,ym2)

Etapa2: achar as inclinações das retas r1 e r2.
tgα1 = (y2-y1)/(x2-x1)
tgα2 = (y3-y2)/(x3-x2)
Obs:
tgα1 = (y1-y2)/(x1-x2)
tgα2 = (y2-y3)/(x2-x3)

Etapa3: achar as inclinações das retas normais n1 e n2.
tgα1 = -1/tgθ1 => tgθ1 = -1/tgα1
tgα2 = -1/tgθ2 => tgθ2 = -1/tgα2

Obs:
- A tangente de α é inversa da tagente do ângulo complementar (90º - α) => tgα = 1/tg(90º - α)
- A tangente do ângulo suplementar (90º - α) à θ é o oposto da tangente de θ => tg(90º - α) = - tgθ

Etapa4: montar as equações das retas normais n1 e n2.
A declividade de n1 (tgθ1) e o ponto M1(xm1,ym1) são facilmente calculados utilizando as etapas anteriores, monta-se a equação1 com as coordenadas de  C(xc,yc) como incógnitas.
tgθ1 = (ym1 - yc)/(xm1-xc) => equação 1

A declividade de n2 (tgθ2) e o ponto M2(xm2,ym2) são facilmente calculados utilizando as etapas anteriores, monta-se a equação2 com as coordenadas de C(xc,yc) como incógnitas.
tgθ2 = (ym2 - yc)/(xm2-xc) => equação 2

Etapa5: resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas.
xc = ? e yc = ? (só substituir os dados nas fórmulas)

Etapa6: Com as coordenadas dos pontos P1, P2, P3 e C é só achar o valor do raio r e atribuir um ponto genérico P(x,y) na circunferência e montar a fórmula usando o raio r e as coordenadas de C(xc,yc) e P(x,y).
r² = (x-xc)² + (y-yc)²

Obs: ângulos: nulo = 0º, 0º<agudo<90º, 90º<obtuso<180°, raso=180°.


2.2. Forma Geral da Equação Simplificada da Circunferência
É o desenvolvimento da sua própria Equação Padrão.
r² = (x-xc)² + (y-yc)²=> x² - 2.x.xc + xc² + y² - 2.y.yc + yc²
Simples agrupamento: x² + y² - (2.xc)x  - (2.yc)y + xc² + yc² - r² = 0
D = - (2.xc)
E = - (2.yc)
F = xc² + yc² - r²
x² + y² +D.x  + E.y + F = 0
A fórmula geral só é utilizável após reduzí-la a forma padrão.

Para que a Forma Geral da Equação da Circunferência represente um circunferência deve-se reduzí-la a forma padrão, isso é feito adicionando (D²/4 + E²/4) a ambos os membros da equação geral, isso se chama método de completar os quadrados.

Os valores possíveis para o raio são:
1) D² + E² - 4F = 0 => neste caso o raio é igual a zero, não iremos considerar essa situação.
2) D² + E² - 4F < 0 => o raio não pertence ao números reais (pertence aos números imaginários).
3) D² + E² - 4F > 0 => Única situação a ser considerada.

D, E e F: são três constantes arbitrárias e independentes (arbitrárias: qualquer valor real, independentes: uma não depende da outra, ou seja, três existências distintas), porém, com a condição acima assinalada.

Obs:
Equação 1 → Transformação → Equação 2
Equação 2 → Completar os quadrados → Equação 1


Exemplo genérico:
Dados três pontos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) pertencentes a uma circunferência, ao substituir suas coordenadas na equação  (x-xc)² + (y-yc)² = r² produzirá três equações, cuja raiz do sistema será os valores das incógnitas xc, yc e r.
Da mesma forma se procede caso a equação esteje na forma geral x² + y² +D.x + E.y + F = 0, onde D = -2xc, E =  -2yc e F = xc² + yc² -r²
Exemplo 1:
Verificar se a equação 2x² + 2y² -6x + 10y + 7 = 0 representa uma circunferência.
Solução
Devemos deixar equação na forma geral, x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 e depois devemos transformá-la na forma padrão pelo método de completar os quadrados.

2x² + 2y² -6x + 10y + 7 = 0 = 0 Dividir por 2
x² + y² - 3x + 5y + 7/2 = 0  
D = -3, E = 5 e F = 7/2
Somar (D²/4 + E²/4) nos dois membros da equação para completar os quadrados.
D²/4 = 9/4 e E²/4 = 25/4
(x² - 3x +9/4) + (y² + 5y + 25/4) = -7/2 + 9/4 + 25/4
(x - 3/2)² + (y + 5/2)² = (51/2)²

Compar com a equação padrão (x - xc)² + (y - yc)² = r²

xc = 3/2, yc = -5/2 e r = 51/2
Ou seja: Centro C(3/2,-5/2) e raio = 51/2.

Como saber se uma equação de 2º grau do tipo ax²+by²+cxy+f.x+e.y+f=0 representa uma circunferência?
Tente reduzí-la a forma x²+y²+D.x+E.y+F=0, com:
a=b => dividir a equação por a
c=0
D² + E² - 4F > 0

Exemplo 2:
Verificar se a equação 3x²+y²-4x+2y-8 = 0 representa uma circunferência.
3x²+y²-4x+2y-8 = 0. Não é uma equação de uma circunferência porque os coeficientes dos termos do segundo grau (3 e 1) não são redutíveis à unidade.

Exemplo 3:
Verificar se a equação  x²+y²-2x-6y+14 = 0 representa uma circunferência.
Não é uma equação de uma circunferência porque o raio não existe.
D= -2, E = -6 e F= 14
D² + E² - 4F = -16 => r² = -16 (não existe)

Exemplo 4:
Determinar a equação padrão da circunferência (x – a)² + (y – b)² – r² = 0 que passa pelos pontos Ponto1(-2;4), Ponto2(-1;1) e Ponto3(3;9).
Solução:
Desenvolvendo a equação padrão temos a equação geral: x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Substituindo as coordenadas dos pontos na equação geral temos:
Ponto1: 4+16+4a-8b+a²+b²-r²=0 (I)
Ponto2: 1+1+2a-2b+a²+b²-r²=0 (II)
Ponto3: 9+81-6a-18b+a²+b²-r²=0 (III)

(I) menos (II) => a -3b = -9
(I) menos (III) =>10a+10b = 70
(II) menos (III) => 8a+16b = 88

Substituindo (I) - (II) => a = -9+3b em (I) - (III) temos:
(-9+3b) +b = 7 => b =16/4 = 4
a+4 = 7 => a = 3

Substituindo a e b na equação geral temos:
x² + y² – 6x – 8y + 9 + 16 – r² = 0

Substituindo Ponto2(-1;1) na equação anterior temos:
1+1+6-8+9+16-r² = 0 => r = 5

Portanto a equação da circunferência é (x – 3)² + (y – 4)² – 5² = 0

2.3. Equação Geral da Circunferência na Forma de Deteminante
A circunferência que passa por três pontos não colineares P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) tem por equação, sob a forma de deterrminante:
 
Fonte: Geometria Analítica, Charles H. Lehmann, Editora Globo, 6ª Edição, 1987, folha 93.
Copyright 1942 by John Wiley & Sons, Inc., New Your.

2.4. Relação entre Equação Padrão/Geral e Função Paramétrica da Circunferência
Seja uma circunferência de centro C(xc,yc) e raio r tem:
Equação padrão: r² = (x-xc)²+(y-yc)²
Equação geral: x² + y² - (2.xc)x  - (2.yc)y + xc² + yc² - r² = 0
Equação paramétrica:
x(t)=xc+r.cos(t)
y(t)=yc+r.sin(t)
0º ≤ t ≤ 360º
Dado r = 10 e C(15,10) calculamos cada ponto P(x,y) com base no ângulo t. Cada x(t) e y(t) deve satifazer a equação padrão 10² = (x-15)²+(y-10)² e a equação geral x²+y²-30x-20y+225=0. Levar em consideração o erro de arredondamento na obtenção de x(y) e y(t). O x e o y da equação padrão e geral equivale ao x(t) e ao y(t) da função paramétrica já calculado na tabela abaixo.

Função paramétrica => Tabela
x(t)=15+10.cos(t)
y(t)=10+10.sin(t)
0º ≤ t ≤ 360º
Domínio = [5,25]

Tabela com os valores de x(y) e y(t):

Ângulo(t) x(t)=15+10.cos(t) y(t)=10+10.sin(t)
0º 25 10
1° 20,4 18,41
2° 10,84 19,09
3° 5,1 11,41
4° 8,46 2,43
5° 17,84 0,41
6° 24,6 7,21
7° 22,54 16,57
8° 13,54 19,89
9° 5,89 14,12
10° 6,61 4,56
11º 15,04 0
12º 23,44 4,63
13º 24,07 14,2
14º 16,37 19,91

Exemplo 1:
Dado r = 10 e C(15,10) pegaremos na tabela acima x(t)=20 e y(t)=18,66 e substituiremos na equação padrão e equação geral:
Equação padrão: (16,37 - 15)² + (19,91²-10)²≅10²
1,37²+9,91²=100,08≅10²
Equação Geral:
16.37²+19,91²-2×15×16,37-2×10×19,91+15²+10²-10²≅0
267,97+396,40-491,1-398,2+225=0,07≅0

O ponto P(x,y) é sempre calculado, medido ou obtido (variável ou incógnita) porque é através dele que formará o ângulo θ e a reta s. Cada ângulo θ corresponderá a uma tangente (tgθ),  um senθ e um cosθ conforme gráfico abaixo.


Portanto, dado um ângulo θ, o seu senθ e o seu cosθ são valores de leitura que geralmente estão em uma tabela, vejamos alguns valores abaixo:
Radianos Número Seno Cosseno Tangente
Π/4 = 0,79 0,71 0,71 1
Π /3 = 1,05 0,87 0,5 1,73
Π/2 = 1,57 1 0
Π = 3,14 0 -1 0
5Π/4 = 3,93 -0,71 -0,71 1
4Π/3 = 4,19 -0,87 -0,5 1,73
3Π/2 = 4,71 -1 0
2Π = 6,28 0 1 0

3. Posição de Ponto em Relação a Circunferência
- Com base na figura abaixo, dado a equação geral da circunferência x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 tem-se o centro C(xc,yc) e o raio r.
- Dado um ponto P(x,y) como saber se o mesmo é interno, externo ou pertencente a circunferênia?

Basta substituir as coordenadas do ponto P(x,y) na equação geral x² + y² +D.x  + E.y + F = 0:
- Se o resultado é zero o ponto P pertence a circunferência.
- Se o resultado é maior que zero o ponto P é externo a circunferência, maior que o raio.
- Se o resultado é menor que zero o ponto P é interno a circunferência, menor que o raio.
Conclusão: a equação geral da circunferência igual a zero significa que o ponto P(x,y) pertence a circunferência, isso é mais perceptível na equação padrão da circunferência, (x-xc)² + (y-yc)² = r².

3.1. Inequações
Para todos os pontos internos a circunferência teremos: (x-xc)² + (y-yc)² < r²
Para todos os pontos externos a circunferência teremos: (x-xc)² + (y-yc)² > r²

Repare que a primeira figura representa o conjunto de circunferências com mesmo centro C e raio menor que r.
E a segunda figura representa o conjunto de circunferências com mesmo centro C e raio maior que r.

3.2. Posição de Reta e Circunferência
- Com base na figura abaixo, dado a equação geral da circunferência x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 tem-se o seu centro C(xc,yc) e o seu raio r.
- Dado uma reta s com equação geral Ax + By + C = 0 como saber se a mesma é secante, tangente ou não intercepta a circunferênia?


Resolução genérica:
Primeiro, conforme figura abaixo, foi desenhado a reta n normal a reta s. A reta n passa pela origem do sistema conforme sua própria definição.
1º) Achar a reta n normal a reta dada s:

2°) Achar a distância d que vai do ponto C(xc,yc) até reta normal n.
3º) Achar a distância dCP' de C(xc,yc) a reta s.
Se dCP' = r, s é tangente a circunferência.
Se dCP' < r, s é secante a circunferência.
Se dCP' > r, s é externa a circunferência.

Resumo de Fórmulas:
1) Equação Geral da Reta s: A.x + B.y + C = 0
2) Distância Entre Dois Pontos

3) Reta Normal
A primeira observação é que a fórmula da equação da reta normal é feita com um ponto na origem do sistema de coordenadas O(0,0). Ao acharmos o valor de p podemos compará-lo com o raio r da circunferência e consequentemente saber se o ponto P é interno, tangente ou externo a circunferência.
Para generalizar ao máximo as possibilidades da relação entre reta e circunferência foi levado em consideração o sistema de coordenadas do objeto (circunferência), isto é, o sistema de coordenadas-x'y'.

Obs: A TRANSLAÇÃO DA ORIGEM DO SISTEMA DE COORDENADADES DE O(0,0) PARA C(xc,yc) NÃO ALTERA AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (SENO E COSSENO) ENTRE AMBOS SISTEMAS PORQUE OS EIXOS NAS DUAS POSIÇÕES SÃO PARALELOS,  OU SEJA,  NÃO ALTERAM  AS  FÓRMULAS  (retas,  circulos,  etc) PARA AMBOS SISTEMAS PORQUE A PROPORCIONALIDADE É A MESMA.
Considerações:
- A reta normal n passa pela origem do sistema de coodenadas O(0,0) por definição e é perpendicular a reta s no ponto P. Não necessariamente passa pelo ponto C(xc,yc).
- O raio r é perpendicular a uma reta tangente qualquer a circunferência no ponto de tangência.

Exercício Esquemático (revisão):
Dado uma reta r cuja função é y=ax+b qual é o ponto de intersecção com sua reta normal?
Resolução:
Já sabemos que o coeficiente ângular da reta normal n é o inverso e negativo da reta r, portanto é -1/a. Por definição de reta normal, n passa pelo origem do sistema de referência (0,0), consequentemente o seu coeficiente linear é zero. Com isso a função da reta normal é y=(-1/a)x.
Portanto o ponto de intersecção satisfaz ambas equações:
r: y=ax+b => ax-y+b=0
n: y=(-1/a)x=> (-1/a)x-y=0
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas encontraremos o ponto de intersecção.

3.2.1. Reta Tangente a Circunferência
No item anterior já foi demonstrado a tangência de uma reta a uma circunferência, neste item iremos fazer a mesma coisa, porém de forma algébrica através de uma fórmula apenas.

A forma analítica tratada será apenas para compreender o que está sendo feito.
Dada a forma geral da circunferência abaixo x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 vamos determinar a equação de uma reta que seja tangente a circunferência no ponto P1(x1,y1). Supondo que y1 ≠ 0.
Sabemos que o raio é normal a reta tangente no ponto P1.
O ponto P1(x1,y1) pertence a reta t e seja P(x,y) um ponto genérico dela,  então a sua equação fica determinada com  o cálculo de sua declividade ou tangência (a), conforme figura abaixo:

180º>θ>90º => cosθ<0 e senθ>0, portanto tgθ<0. Repare que tgθ=(y-y1)/(x-x1) ou tgθ = (y1-y)/(x1-x) para 0º ≤ θ ≤  360º, ou seja, sempre é a mesma fórmula.

tgθ = a = (y-y1)/(x-x1)
Reta t: (y-y1) = a(x-x1) =>  y = ax-ax1+y1

O ponto P(x,y) é um ponto genérico, então vamos escolher um ponto P que facilite os cálculos, seja  C(xc,yc) o centro da circunferência, escolheremos y=yc, vejamos a figura abaixo:

Não há nenhum problema em escolher um ponto P(x,y) pertencente a reta t tal que y = yc, como já sabemos que y = ax-ax1+y1 é só substituí-lo na fórmula dada x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 que encontramos o valor de a.
Repare que a reta n é paralela a reta normal a t, essa é uma outra forma de encontrar a reta n analiticamente.

Desenvolvimento da Fórmula:
A coordenada-x do ponto P não pertence a circunferência. Como a equação da circunferência pode ter duas variáveis x diferentes? Para resolver esse problema traça-se a reta t' paralela a reta t, portanto com mesma declividade (tangente) e o ponto P2 com mesma coordenada-y

Substituindo y = ax-ax1+y1 na equação da circunferência, temos:
x² + (ax-ax1+y1)² + Dx + E(ax-ax1+y1)+F = 0
isto é:
x²+[(ax-ax1)²+2(ax-ax1)y1+y1²]+Dx+Eax-Eax1+Ey1+F=0
x²+(a²x²-2a²xx1+a²x1²)+2axy1-2ax1y1+y1²+Dx+Eax-Eax1+Ey1+F=0
x²+a²x²-2a²xx1+a²x1²+2axy1-2ax1y1+y1²+Dx+Eax-Eax1+Ey1+F=0

Colocando x² e x em evidência:
x²(1+a²)+x(-2a²x1+2ay1+D+Ea) +a²x1² -2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F=0
(1+a²)x²+(-2a²x1+2ay1+D+Ea)x +a²x1² -2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F=0

É uma Equação do 2º Grau
mx²+bx+c=0
m=(1+a²)
b=(-2a²x1+2ay1+D+Ea)
c=a²x1² -2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F
O discriminante deve ser igual a zero, pois deve haver apenas um valor para x.
Uma equação do segundo grau, pela unicidade da solução P(x,y), o discriminante é igual a zero (Δ = 0).
Δ = b²-4mc = 0
b² = 4mc

(-2a²x1+2ay1+D+Ea)²  -4(1+a²)(a²x1² -2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F) = 0
A equação acima possui apenas a variável a, já que as demais são fornecidas.
Portanto é só resolver a equação.

Desenvolvimento (I):
[(2ay1-2a²x1)+(D+Ea)]² = (2ay1-2a²x1)² +2(2ay1-2a²x1)(D+Ea)+(D+Ea)²
(2ay1-2a²x1)² = 4a²y1²-8a3y1x1+4a4x1²
2(2ay1-2a²x1)(D+Ea)=(4ay1-4a²x1)(D+Ea) = 4ay1D-4a²x1D +4a²y1E-4a3x1E
(D+Ea)² = D²+2DEa+E²a²
∴ [(2ay1-2a²x1)+(D-Ea)]²= 4a²y1²-8a3y1x1+4a4x1² + 4ay1D - 4a²x1D +4a²y1E-4a3x1E + D²+2DEa+E²a²

Desenvolvimento (II):
(-4-4a²)(a²x1²) -2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F) = -4a²x1² +8ax1y1-4y1²+4Eax1-4Ey1-4F -4a4x1² +8a³x1y1-4y1²a²+4Ea³x1-4Ey1a²-4Fa²

(I)+(II) Elimine os termos iguais e opostos (mesmas cores)
4ay1D - 4a²x1D + D²+2DEa+E²a²-4a²x1² +8ax1y1-4y1²+4Eax1-4Ey1-4F-4Fa² = 0

Colocando a² e a em evidência:
(- 4x1D + E² -4x1² -4F)a² + (4y1D+2DE+8x1y1+4Ex1)a + D²-4y1²-4Ey1-4F = 0
Fórmula:
(-4Dx1+E²-4x1²-4F)a² + (4Dy1+2DE+8x1y1+4Ex1)a + (D²-4y1²-4Ey1-4F) = 0
Obs: x1, y1, D, E e F  => a

Análise do Exemplo:
Para uma circunferência de equação geral x²+y²-6x-4y-12 = 0 e uma reta t tangente a mesma no ponto P1(6,6) calcule a declividade dessa reta algebricamente.
Solução:
É só aplicar a regra estudada anterior, porém para efeito didático vamos também resolver essa questão analiticamente para compreensão da própria fórmula estudada por último.
Equação Geral Circunferência: x²+y²-2xcx-ycy+xc²+yc² – r² = 0
Circunferência C1:
-2xc=-6 => xc=3 e -2yc=-4 => yc=2
F=-12=xc²+yc² – r² => 3²+2²-r²=-12 => r=5
x²+y²-6x-4y-12=0
Declividade da reta t:
P(x,y) e P1(6,6) => (y-6)/(x-6) = a => y = ax-6a+6=> a = ?
Obs(fórmula): x1, y1, D, E e F  => a

Antes de aplicar a fórmula, substituindo y = ax-6a+6 em x²+y²-6x-4y-12 = 0 vamos estudar o que isso significa analiticamente afim de compreender esse raciocínio.

Traça-se a reta t tangente a circunferência C1 no ponto P1(6,6).
Traça-se a reta horizontal h passando pelo centro da circunferências C1.
Traça-se a reta t' paralela a reta t passando pelo ponto P2 (intersecção da reta h com a circunferência C1).
Reta Normal n:
O ponto (x,y) está entre os pontos (6,6) e (3,2), então:
f1(x)=>(y-2)/(x-3)=(6-y)/(6-x)=> f1(x)=(4/3)x-2
Reta Tangente t:
Temos o ponto (6,6), um ponto P(x,y) e a declividade igual a (-3/4), ou seja, inverso negativo da declividade da reta normal.
(6-y)/(6-x) = (-3/4) => (-3/4)x+10,5
Reta h: y = 2
Circunferência C2:
Ponto central=(3,2) e raio =(34/3)-3 = 25/3
x²+y²-4y-56,44=0

Discussão:
Quando substituimos a coordenada-y (y = ax-6a+6) do ponto P na equação geral da circunferência C1 (x²+y²-6x-4y-12 = 0) estamos na realidade utilizando a coordenada-y do ponto P2, pois ambas coordenadas-y são iguais e apenas pontos da própria circunferência podem ser utilizados na sua equação. As retas t e t1 tem a mesma declividade, pois são paralelas.
Portanto devemos compreender que quando substituimos a coordenada-y do ponto P na equação da circunferência C1 estamos na realidade utilizando a coordenada-y do ponto P2.

Exemplo com Desenvolvimento da Fórmula:
P(x,y) e P1(6,6) => (y-6)/(x-6) = a => y = ax-6a+6=> a = ?
É só substituir y = ax-6a+6 em x²+y²-6x-4y-12 = 0.
Solução:
x²+(ax-6a+6)²-6x-4(ax-6a+6)-12=0
(ax-6a+6)² = ((ax-6a)²+6)² = x²+a²x²-12a²x+36a²+12ax-72a+36
-6x-4(ax-6a+6)-12 = -6x-4ax+24a-24-12
∴ x²+a²x²-12a²x+36a²-6x+8ax-48a = 0

Colocando x² e x em evidência:
(1+a)x²(-12a²+8a-6)x+36a²-48a = 0 é uma equação do 2º grau com Δ = 0 (só um x).
mx²+bx+c = 0
m=(1+a)
b=(-12a²+8a-6)
c=36a²-48a
Δ = 0=> b²-4mc = 0
((8a-12a²)-6)²-4(1+a)(36a²-48a)=0
((8a-12a²)-6)²=(8a-12a²)²-12(8a-12a²)+36 = 64a²-192a³+144a4-96a+144a²+36
(-4-4a)(36a²-48a)= -144a²+192a-144a4+193a³
∴  64a²+96a+36=0
16a²+24a+9=0
Δ =24²-4.16.9 = 0
a=-24/32=-0,75

arct(-0,75)=-36,86º

Exemplo Utilizando a Fórmula Diretamente
x²+y²-6x-4y-12=0
P1(6,6)
x1=6, y1=6, D= -6, E=-4 e F=-12
Fórmula:
(- 4x1D + E² -4x1² -4F)a² + (4y1D+2DE+8x1y1+4Ex1)a + D²-4y1²-4Ey1-4F = 0

Solução:
Substituição dos valores:
(-4.6.(-6)+16-4.36+4.12)a² + (4.6.(-6)+2.(-6)(-4)+8.6.6+4.(-4).6)a +36-4.36-4.(-4).6-4.(-12)
∴  64a²+96a+36=0 (já calculado)

3.2.2. Intersecções de Retas sobre uma Circunferência
Secante: dois pontos. Tangente: um ponto. Externa: nenhum ponto.


4. Circunferências Secantes
Dado uma circunferência de centro C1(x1,y1) e raio r1 secante a circunferência de centro C2(x2,y2) e raio r2, teremos os pontos A e B pertencentes a ambas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo, ou seja, há um sistema de duas equações e duas incógnitas.

Circunferência 1: (x-x1)²+(y-y1)² = r1²
Equação 1: x²+y²-2x1x-2y1y+x1²+y1²-r1²=0
Circunferência 2: (x-x2)²+(y-y2)² = r2²
Equação 2: x²+y²-2x2x-2y2y+x2²+y2²-r2²=0

4.1. Subtração de Duas Equações Gerais de Circuferência Secantes
Intersecção das circunferências C1 e C2:
Ponto A(xa,ya)=>Equação 1 = Equação 2 => Equação 1 - Equação 2 = 0
(I) x²+y²-2x1x-2y1y+x1²+y1²-r1²=0
      -
(II) x²+y²-2x2x-2y2y+x2²+y2²-r2²=0
(III) = -2(x1-x2)x-2(y1-y2)y+F1-F2=0 Equação 3 (Reta radial r)

Intersecação da circunferência C1 e reta r.
Ponto A(xa,ya)=> Substituir x de (III) em (I).


Exemplo 5: Obter a intersecção entre as circunferências C1 e C2, cujas equações são: C1: x²+(y−2)² =4 e C2:(x−1)²+y²=1.

4.1. Soma de Duas Equações Gerais de Circuferências Secantes
Diferentemente da equação padrão, quando somamos duas equações gerais temos que reduzir o termo de grau dois a unidade. Os três centros são colineares.


Ao  somar (I)+(II) e dividir por 2 obtemos a circunferência (III) de centro C3, ponto médio e colinear entre C1 e C2.
D3=(D1+D2)/2 => -2x3=[(-2x1)+(-2x2)]/2=> x3=(x1+x2)/2 (meio)
E3=(E1+E2)/2 => -2y3=[(-2y1)+(-2y2)]/2 => y3=(y1+y2)/2 (meio)

Iremos provar no item 4.3. que a circunferência (III) passa pelos mesmos pontos secantes que as outras duas circunferência e pelos centros de ambas.

Cálculo dos pontos secantes:
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas, ou seja, calculado o valor de x e o valor de y que satisfaça a ambas equações (ponto de intersecção).
x²+y²-10x-30y+225 = 0
+
x²+y²-30x-20y+225 = 0 (multiplicar por -1)
20x-10y = 0 => x = y/2

Substituii x = y/2 em (I)
(y/2)²+y²-10y/2 -30y+225 = 0
Cuja solução é y = 18 e y = 10
y = 18 => x = 9
y = 10 => x = 5

Pontos secante: P1(18,9) e P2(5,10)

4.2. Soma Direta de Coeficientes de Duas Equações Padrões
Vejamos o que ocorre quando simplesmente somamos as coordenadas dos centros de duas circunferências e seus raios. Essa soma pode ser feita tanto na equação padrão como na função paramétrica das circunferências.

Soma Direta de Variáveis (coordenadas do centro e raio)
A soma dos raios e coordenadas do centro das equações de duas circunferências produz uma terceira equação. O mesmo acontece com as respectivas funções. Vejamos o exemplo abaixo:
5²   = (x-5)² + (y-15)² (I)
+
10² = (x-15)² + (y-10)² (II)
15² = (x-20)² + (y-25)² (III)


Se atribuirmos os pontos secantes entre a circunferência 1 e a circunferência 2 a uma outra circunferência, ter-se-á uma família de circunferências com dois pontos em comum.
Forma Padrão: [x-(x1+x2)]²+[y-(y1+y2)]² = (r1+r2)² (III)
Forma Geral: x²+y²-2(x1+x2)x-2(y1+y2)y+(x1+x2)²+(y1+y2)²-(r1+r2)² = 0 (III)
x3=x1+x2
y3=y1+y2
F3=F1+F2+2(x1.x2+y1.y2)-2(r1.r2)

Tarefa1
Vamos criar três circunferência secantes nos mesmos pontos. A escolha dos dados é livre.
Solução:
1º) Escolher convenientemente a primeira circunferência de centro C1(-30,20) e raio r1=5.
Criar o sistema de coordenadas com a circunferência 1 (esboço):


2º) Escolher a abscissa do primeiro ponto secante e calcular a ordenada:
x1=-27 (escolha)
Para P1(-27,y) => y=?
(-27+30)²+(y-20)²=25
9+y²-40y+400-25=0
y²-40y+384= 0
Δ = 40²-4.1.391 = 64
y=(40±8)/2 => y'=24 ou y"=16
P1(-27,16)

3º) Escolher a ordenada do segundo ponto secante e calcular a abscissa:
y2=23 (escolha)
Para P2(x,23) => x=?
(x+30)²+(23-20)²=5²
x²+60x+900+9-25=0
x²+60x+885=0
Δ =60²-4.1.885=64
x=(-60±8)/2 => x' = -26 e x'' = -34
P2(-26,23)

4º) Escolher convenientemente a segunda circunferência de raio r = 10 e secantes a circunferência 1 nos pontos P1 e P2, calcular o seu centro:
A figura Fig.1 mostra o que já foi feito até aqui, como sabemos para determinar uma circunferência precisamos do seu raio e o seu ponto central, portanto vamos calcular o ponto C2(x',y').


Calculemos a corda d e o ângulo α da figura Fig.2:
Sabemos que P1(-27,16) e P2(-26,23).
d²=(23-16)²+(-26+27)² => d=√50
tgα = (23-16)/(-26+27) = 7 => α = atg7 = 81,86º

Calculemos os valores de a e b da figura Fig.3:
(d/2)²+b² = 10² => b = √350/2
(d/2)²+a² = 5² => a = √50/2

Calculemos os valores e bem como c da figura Fig4 e o ponto C2(x',y'):
7=c/e => 7e = c
e²+(7e)² = 165.89 => 50e² = 165.89 => e = 1,82 , c = 12.75
Portanto:
y' = 20-1.82 = 18.2
x' = -30+12.75 = -17.24

C2(-17.24,18.2)

5º) Escolher convenientemente a terceira circunferência de raio r = 15 e secantes a circunferência 1 nos pontos P1 e P2, calcular o seu centro:
A relação entre as circunferências 1 e 2 é a mesma que entre as circunferências 1 e 3,

Já foi calculado:
tgα = 7
d=√50
a = √50/2

Portanto:
(d/2)²+b''²=15² =>(√50/2)²+b''²
12.5 + b''² = 225 => b''² = 212.5 => b'' = 14.57

7 = c''/e'' => 7e'' = c''

e''²+(7e'')² = ((√50/2)+14.57))²
50e''² = 327.81
e'' = 2.56

e'' = 2.56 => y'' = 20-2.56 = 17.44
c'' = 17.92 => x'' = -30+17.92 = - 12.08

Circunferência 3: C3(-19.95,18.65) e r3 = 15.

Conclusão:
Circunferência 1: C1(-30,20) e r1 = 5.
Circunferência 2: C2(-17.24,18.2) e r2 = 10.
Circunferência 3: C3(-19.95,18.65) e r3 = 15.
Pontos secantes: P1(-27,16) e P2(-26,23).

Para confirmar vamos plotar as três circunferências em um gráfico:

Vejamos como fica a equação geral das três circunferências:
C1: (x+30)²+(y-20)² = 5² => x²+y²+60x-40y+1275 = 0
C2: (x+17.24)²+(y-18.02)²= 10² => x²+y²+34.48x-36.4y+528.45 = 0
C3: (x+19.95)²+(y-18.65)² = 15² => x²+y²+39.9x-37.3y+1564.29 = 0

Tarefa 2
Podemos utilizar o mesmo raciocínio da Tarefa 1 para criar uma circunferência secante (circunscrita) a duas circunferências tangentes (inscritas).
Dado a circunferência 1 (C1 e r1) e a circunferência 2 (C2 e r2) é calculada a circunferência 3.

O ponto C3 deve ficar na metade da soma dois dois diâmetros 1 e 2, ou seja, r3 = r1+r2. Os pontos C1(x1,y1), C2(x2,y2), C3(x3,y3), P4 e P5 são colineares.  Através da semelhança de triângulo é calculados as coordenadas dos pontos P4, P5, e C3.


4.3. Três Circunferências Secantes
Conforme item 4, dado a circunferência 1 de centro C1 e equação x² + y² +D1.x + E1.y + F1 = 0 secante a circunferência 2 de centro C2 e equação x² + y² +D2.x  + E2.y + F2 = 0 nos pontos A e B.
Os pontos A e B são determinados através da equação 1 e equação 2. Portanto para determinação da circunferência 3 temos os pontos A e B, necessita-se a determinação de mais um ponto sobre a circunferência 3 ou o seu raio (r3) ou ainda o seu centro (C3) para sua determinação.
Pelo fato de atribuirmos os pontos A e B a circunferência 3, ela passa a pertencer a mesma família de circunferências (1 e 2).


Os centros C1, C2 e C3 são colineares porque suas flexas pertencem a mesma reta. C3 ∈ s, r3 = ? (não definido).

Podemos obter a equação geral da circunferência 3 através da soma das equações (I) e (II) e redução unária dos termos de grau dois (Equação 1 + Equação 2). Isso garante que o centros das três circunferências são colineares pois tratam-se de uma mesma tangente e garante também que a terceira circunferência será secante as demais. Veja abaixo:

Equação 1: x² + y² +D1.x  + E1.y + F1 = 0 (I)
  +
Equação 2: x² + y² +D2.x  + E2.y + F2 = 0 (II)
  =              2x² + 2y² +(D1+D2)x  + (E1+E2)y + (F1+F2) = 0 Multiplicar por 1/2
Equação 3: x² + y² +[(D1+D2)/2]x  + [(E1+E2)/2]y + (F1+F2)/2 = 0 (III)

Vejamos a figura abaixo:

C3 é o ponto médio entre C1 e C2, logo são colineares (combinação linear).
(I): x3=(x1+x2)/2 e y3=(y1+y2)/2

Raios (distância de A aos centros C1, C2 e C3)
(II): r1²=(xa-x1)²+(ya-y1)²=xa²-2xax1+x1²+ya²-2yay1+y1²
(III): r2²=(xa-x2)²+(ya-y2)²=xa²-2xax2+x2²+ya²-2yay2+y2²
(IV): r3²=(xa-x3)²+(ya-y3)²=xa²-2xax3+x3²+ya²-2yay3+y3²
(I) e (IV)=> (V)
(V): r3²=xa²-2xa(x1+x2)/2 + ((x1+x2)/2)² + ya² -2ya(y1+y2)/2 ((y1+y2)/2)²

Conferir:
(VI): F3=(F1+F2)/2
F3=((x1+x2)/2)² + ((y1+y2)/2)² -r3²

(F1+F2)/2 = x1²+y1²-r1²+x2²+y2²-r2²
Substituindo r1 e r2 em função de xa e ya temos:
(F1+F2)/2 =(-2xa²-2ya²+2xax1+2xax2+2yay1+2yay2)/2
(F1+F2)/2 =(-xa²-ya²+xax1+xax2+yay1+yay2)

Igualando F3=(F1+F2)/2 => r3² = ?

Repare que (VI) confere com (V).
Portanto r3 é igual a distância entre o ponto C3 e o ponto A.

Repare que (VI) corresponde a equação da circunferência C3 em função do ponto A(xa,ya)

Substiruindo o ponto C1(x1,y1) em (VII) temos:

((x1-x2)/2)² + ((y1-y2)/2)² = r3², ou seja r3 correponde a metade da distância entre C1 e C2, portanto, a circunferência C3 passa por C1 e C2.

Conclução:
Os pontos A, B, C1 e C2 pertencem a circunferência C3.
O raio r3 é a metade da distância entre C1 e C2.
Multiplicando a Equação 2 por  um número k ∈ ℜ teremos uma família de circunferências C3 secantes as circunferências C1 e C2.
Para duas circunferência secantes de equações Equação 1 e Equação 2 existe um número k ∈ ℜ tal que Equação 1 + k.Equação 2 = Equação 3. Como as duas circunferências são secantes, então ambas formam um sistema de duas equações e duas incógnita. Quando multiplicamos k por Equação 2 teremos um equação equivalente a anterior, ou seja, com os mesmos pontos secantes.
Exemplo:


Exemplo:
Dado a circunferência 1 de equação x²+y²+7x-10y+31 = 0 e a circunferência 2 de equação x²+y²-x-6y+3 = 0. Determinar a circunferência 3 que passa pelos pontos secantes cuja centro encontra-se sobre a reta x-y-2 = 0.
Solução 1 (diferença):
Duas circunferência secantes formam um sistema de equações, logo, podemos criar uma terceira equação como combinação das outras duas.
x²+y²+7x-10y+31 = 0 (I)
-
x²+y²  -x  -6y+ 3  = 0 (II)
8x - 4y + 28 = 0
2x - y = -7 => y = 7+2x (reta secante e radial)

Substituindo y em (I) temos:
x²+(2x+7)²+7x-10(2x+7)+31 = 0
5x² + 15x +10 = 0
Resolvendo a equação de 2º grau temos: xa = -1 e xb = -2.

Substituindo xa=-1 na equação (I) temos ya = 5, ou seja, ponto A(-1,5)
Substituindo xb=-2 na equação (I) temos yb = 3, ou seja, ponto B(-2,3)

Seja a circunferência 3 com a equação (III) x² + y² +D3.x  + E3.y + F3 = 0
Sistema de duas equações e duas incógnitas:
A(-1,5) em (III) temos: -D3  + 5E3 + F3 = -26
B(-2,3) em (III) temos: -2D3  + 3E3 + F3 = -13

-D3  + 5E3 + F3 = -26
+
-2D3  + 3E3 + F3 = -13 (multiplicar por -1)
D3  + 2E3  = -13

Teremos o sistema:
D3  + 2E3  = -13
x-y-2 = 0.

Substituindo xc e yc no sistema anterior temos:
Como:
D = - (2.xc)
E = - (2.yc)

O sistema fica:
-2xc-4yc = - 13
xc-yc = 2
Resolvendo o sistema temos: yc = 3/2 e xc = 7/2

Temos que:
r² = (x-xc)²+(y-yc)²

Para A(-1,5)
r² = (-1 - 7/2)² + (5 - 3/2)² => r² = 130/4

Como:
F = xc² + yc² - r²

Substituindo os valores:
F = -18

Portanto
(III) x²+y²-3x-7y-18 = 0



Solução 2 (soma):
Existe um valor real k que multiplicando pela equação (II) e Somando com a equação (I) obtemos a equação (III). k nada mais é que uma variável da qual o ponto central da terceira circunferência depende. O ponto central da circunferência 3 é uma combinação linear dos pontos centrais das circunferências 1 e 2. Portanto os três centros são colineares.
A reta s supre a falta do terceiro ponto para determinação da circunferência 3.

Circunferência 1: (x-x1)²+(y-y1)² = r1² ou x²+y²+7x-10y+31 = 0 (I)
Circunferência 2: (x-x2)²+(y-y2)² - r2² = 0 ou x²+y²  -x  -6y+ 3  = 0 (II)

Composição:
x²+y²+7x-10y+31 = 0 (I)
+
x²+y²  -x  -6y+ 3  = 0 (II) multiplicar por k
(1+k)x²+(1+k)y²+(7-k)x-(10+6k)y+31+3k= 0

(1+k)x²+(1+k)y²+(7-k)x-(10+6k)+31+3k= 0 multiplicar por 1/(1+k) para reduzir o coeficiente de x² e y² a 1.

x²+y²+(7-k)/(1+k)x-(10+6k)/(1+k)y+31/(1+k)+3k/(1+k)= 0 (III)
Como:
D = - (2.x3)
E = - (2.y3)

Obs: quando impomos que x3 = (k-7)/2(1+k) e y3 = (3k+5)/(1+k) na equação III, a incógnitar k assumirá uma valor real tal que x3 e y3 satisfazerá a reta x-y-2 = 0. Essa relação supre a falta do terceiro ponto para identificação da circunferência 3.

x3 = (k-7)/2(1+k)
y3 = (3k+5)/(1+k)

Substituindo (xc,yc) em x-y-2 = 0 temos:
[(k-7)/2(1+k)] - [(3k+5)/(1+k)] - 2 = 0 => k = -7/3

Substituindo k = -7/3 em x²+y²+(7-k)/(1+k)x-(10+6k)/(1+k)y+31/(1+k)+3k/(1+k)= 0 temos:
x²+y²-7x-3y-18 = 0

Obs:

Se três circunferências são secantes duas a duas, não há garantia que as três serão secantes entre si.
Para três retas, se uma reta r intercepta uma reta s e a reta s intercepta uma reta t, e a reta t intercepta a reta r, então as três retas formam um triângulo ou tem um ponto em comum.

5. Reta Radial entre Duas Circunferências
Antes de calcular a reta radial entre duas circunferência será apresentado o conceito de potência de um ponto P em relação a uma circunferência C.  Não nos preocupemos nesta fase com a orientação do ponto no espaço porque essa potência é uma constante, ou seja, um escalar ou um número real.

Discussão conceitual:
- Axial: relativo à eixos (geralmente o comprimento é maior que a largura), portanto relativo à giro,  por onde começa o movimento (ex: eixo acoplado ao eixo de um motor).
- Radial: derivada de radius (latim) que significa raio de luz. Em termos práticos radial indica uma direção perpendicular (ou tangente) a outra direção (ex: perpendicular ao eixo axial).
- A reta radial entre duas circunferências é normal a reta entre os centros de duas circunferências não concentricas.
- Radial envolve os conceitos de centro, tangência e eqüidistância, portanto radial é um conceito mais amplo do que raio de uma circunferência. Esse entendimento é aplicado no conceito de reta radial a reta entre centros de duas circunferências.

5.1 Pontência de Ponto em Relação a uma Circunferência
Tal matéria faz parte da geometria pura, porém para enriquecer o conteúdo optei por apresentá-la antes do estudo da equação da reta radial porque os desenhos são idêntido.

5.2. Potência de um Ponto Interno à Circunferência
Indicamos por PPC1 a potência do ponto P interno a circunferência C, cuja fórmula decorre da semelhança entre os triângulos ΔACP e ΔBDP uma vez que possuem ângulos internos respectivamente iguais. Os lados opostos aos ângulos iguais nos trinângulos semelhantes são proporcionais, isso decorre da intersecção de duas retas transversais a duas retas paralelas.

PPC= PA.PB = PC.PD = constante

A figura abaixo faz a explicação com textos e desenhos:

5.3. Ponto Externo à Circunferência
Utilizaremos o mesmo raciocínio anterior para um ponto P externo a circunferência C.
Indicamos por PPC a potência do ponto P externo a circunferência C, cuja fórmula decorre da semelhança entre os triângulos ΔBCP e ΔADP uma vez que possuem ângulos internos respectivamente iguais. Os lados opostos aos ângulos iguais nos trinângulos semelhantes são proporcionais, isso decorre da intersecção de duas retas transversais a duas retas paralelas.

PPC= PA.PB = PC.PD = constante

A figura abaixo faz a explicação com textos e desenhos:


Obs:
Ângulo inscrito em uma circunferência: Uma reta tem 180º, ou seja, 360º/2.



Ângulo no centro de uma circunferência:


Ângulo secante a uma circunferência:

Ângulo Excêntrico


5.4. Potência de Ponto e Eixo Radial
Vamos acrescentar alguns conceitos da geometria.

Definição
Seja C1 uma circunferência de centro O1 e raio r. Seja P um ponto que está a uma distância d de O1, vamos definir a potência do ponto P em relacão à circunferência C1 por:

PPC1= d2 - r2  = p²
PPC1= a.(a+c) 


Se d>r então PPC > 0
Se d=r então PPC = 0
Se d<r então PPC < 0

Potência do Ponto P
Como p²+r² = d² => p² = d2 - r2 , p² é indicado por PPC.
Temos:
d² = b²+(a+(c/2))² (I)
r² = b²+(c/2)² (II) => b²=r²-(c/2)², substituir em (I)

d² = (r²-(c/2)²)+(a+(c/2))²
d² = r²+a²+a.c
d²-r²=a²+a.c=a.(a+c)
p² = PPC = d2 - r2 = PA.PB

5.5. Potência de um Ponto entre Duas Circunferências Secantes
Através da geometria pura percebemos que a reta r passa pelos pontos P, A, C e B. A potência do ponto P tem a mesma explicação do item anterior. A reta r é a reta radial cuja equação será calculada mais a frente.
A reta radial é comumente chamada de eixo radial.


Atribuindo coordenadas aos pontos temos:
A circunferência de centro O1(x1,y1) e raio r1.
O ponto externo P(x,y).
Distância entre P e O1: d1=√(x-x1)²+(y-y1)²
Distância entre P e T1: p1=√(x-x1)²+(y-y1)²-r1²
Observe que: (x-x1)²+(y-y1)² =d1² é equação da circunfencia C3(x1,y1) e raio r3 = d1.

Repare que (x-x1)²+(y-y1)²-r1² corresponde a equação geral da circunferência 1. Porém, para qualquer ponto P(x,y) sobre a mesma. Quando o ponto P(x,y) é externo a circunferência e sobre a reta radial, teremos outras duas circunferências, C3(x1,y1) e raio r3=d1 e a circunferência, C4(x2,y2) e raio r4=d2. Observe que as circunferências C3 e C4 são secantes e tem a mesma reta radial que as circunferências C1 e C2. Por isso podemos usar tanto as equações de C1 e C2 ou C3 e C4 para obter a reta radial.

Equação da Reta Radial
Seja a circunferência C1 de centro C1 e raio r1, circunferência C2 de centro C2 e raio r2, circunferência C3 de centro C1 e raio d1 e circunferência C4 de centro C2 e raio d2.
Vejamos a figura abaixo: a reta radial r é a mesma tanto para as circunferências C1 e C2 como para as circunferências C3 e C4.

A reta radial é normal a reta entre centros, portanto o seu coeficiente ângular é o inverso e oposto ao coeficiente ângular da reta entre centros. Como o centro das circunferências são dados é só aplicar a fórmula da equação geral da reta entre estes dois pontos para encontrar o seu coeficiente ângular.

Equação Geral da Reta entre Centros: Centros C1(x1,y1) e C2(x2,y2)
(y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0
Simples aplicação da equação geral da reta.

Função da Reta entre Centros: y=[(y2-y1)/(x2-x1)]x-[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]
É só isolar y da equação geral da reta.

Seja y=ax+b a função da reta radial.
Como a reta radial é normal ou perpendicular a reta entre centros o coeficiente ângular da reta radial é o inverso e oposto do coeficiente ângular da reta entre centros:
a=-[(x2-x1)/(y2-y1)]
Para x=0=>y=b=?

O ponto P pertence a reta radial r e também pertence as circunferencias C3 e C4, portanto satisfaz o sistema de equações formados pela reta radial e pelas circunferências C3 e C4.
Circunferência C3: centro C1(x1,y1), raio d1 e Equação3=x²+y²-2x1x-2y1y+F3=0
Circunferência C4: centro C2(x2,y2), raio d2 e Equação4=x²+y²-2x2x-2y2y+F4=0

Pontos Secantes
Circunferência C3: centro C1(x1,y1), raio d1 e Equação3=x²+y²-2x1x-2y1y+F3=0
Circunferência C4: centro C2(x2,y2), raio d2 e Equação4=x²+y²-2x2x-2y2y+F4=0

Os pontos secantes das circunferências C1 e circunferência C2 não servem para determinar a reta radial porque podem não existir, ou seja, as duas circunferências C1 e C2 podem não se interceptarem. Já a circunferência C3 e a circunferência C4 sempre serão secantes, pois, interceptam a reta radial no ponto P com p1=p2 diferentes de zero, então no ponto secante P as equações são iguais Equação3 = Equação4. A subtração é decorrente dessa igualdade.
(x²+y²-2x1x-2y1y+F3) = ( x²+y²-2x2x-2y2y+F4)
(x²+y²-2x1x-2y1y+F3) - ( x²+y²-2x2x-2y2y+F4) = 0

Subtração:
x²+y²-2x1x-2y1y+F3
-
x²+y²-2x2x-2y2y+F4
(2x2-2x1)x+(2y2-2y1)y+F3-F4=0 (I)
Se a equação (I) satisfaz os pontos secantes das circunferências C3 e C4, logo é a equação da reta radial.

Como:
F3=x1²+y1²-d1²
F4=x2²+y2²-d2²
d1²=p1²+r1²
d2²=p2²+r2²
Repare que: F3-F4 = F1-F2=> Equação1-Equação2 = Equação3-Equação4
Portanto:
x²+y²-2x1x-2y1y+F1
-
x²+y²-2x2x-2y2y+F2
(2x2-2x1)x+(2y2-2y1)y+F1-F2=0 (II)
Se a equação (II) satisfaz os pontos secantes das circunferências C3 e C4, logo ela também é a equação da reta radial.

Retornando a função da reta radial:
Substituindo x=0 em (II) => y=b
b=(F2-F1)/(2y2-2y1)
Como: a=-[(x2-x1)/(y2-y1)]
Função Radial: y = -[(x2-x1)/(y2-y1)]x+[(F2-F1)/(2y2-2y1)]

Portanto:
A equação da reta radial é obtida da subtração entre as equações gerais das duas circunferências que formam a reta entre centros.
Equação da Reta Radial:
x²+y²-2x1x-2y1y+F1
-
x²+y²-2x2x-2y2y+F2
(2x2-2x1)x+(2y2-2y1)y+F1-F2=0 ou (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0

Função da Reta Radial:
Isolar y da equação.
y= - (x2-x1)/(y2-y1)]x+(F2-F1)/[2(y2-y1)]

Repare que:
p1= p2=>distância entre P e T1 = distancia entre P e T2
distância entre P e T1 = distância entre P e C1 - r1
distância entre P e T2 = distância entre P e C2 - r2
distância entre P e C1 - r1 = distância entre P e C2 - r2
distância entre P e C1 - r1 = Equaçao 1
distância entre P e C2 - r2 = Equação 2
∴ Equação 1 = Equação 2

Conclusão:
- Qualquer ponto da reta radial é equidistantes dos pontos tangentes as duas circunferências.
- A reta radial coincide com a reta secante quando duas circunferências se interceptam em dois pontos.
- A reta radial coincide com a reta tangente quando duas circunferências se interceptam em um ponto.
- Mesmo que duas circunferências não se interceptem a reta radial é obtida da subtração das equações gerais de ambas (conforme explicação acima).

Exemplo:
Potência de um ponto P entre duas circunferências que não se interceptam:
Mesmo que duas circunferências não se interceptem a regra para o eixo radial é o mesmo.



6.  Reta Simetrica (ou inversa) Convertida em Reta Normal
O conceito estudado de reta normal foi levado em consideração que tal reta passa pela origem do sistema de coordenadas. Podemos obter também uma outra reta normal utilizando o conceito de reta inversa já que seu coeficiente ângular é inverso a reta original.
Uma reta simétrica ou inversa a uma reta qualquer tem seu coeficiente ângular inverso ao da reta original.
Vamos achar uma reta normal a reta entre centros utilizando o conceito de reta inversa.
Como sabemos duas retas perpendiculares ou normais tem declividade (tangente da inclinação) inversas e opostas, repare na figura abaixo onde a reta s e a reta r são perpendiculares:

Vejamos as fórmulas abaixo:
Equação Geral da Reta: (y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0
Equaçao Geral da Circunferência: x² + y² -2xc.x -2yc.y + xc² + yc² -r² = 0, onde:
D = -2xc, E =  -2yc e F = xc² + yc² -r²
x² + y² +D.x +E.y + F = 0

Para as duas circunferências abaixo teremos:
C1(x1,y1) e r1.
C2(x2,y2) e r2.
Equação Geral da Reta entre Centros: simples aplicação da  equação geral da reta.
(y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0
Função da Reta entre Centros: isolar y da equação geral da reta.
y=[-(y1-y2)/(x2-x1)]x-[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]
y=[(y2-y1)/(x2-x1)]x-[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]
y=ax+b
a=[(y2-y1)/(x2-x1)]
b= -[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)] NÃO DEPENDE DO RAIO
Função Simétrica ou Inversa da Reta Entre Centros
1º) Trocar x com y da função da reta entre centros
x=[(y2-y1)/(x2-x1)]y-[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]
2º) Isolar y
y = [x+[(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]]/[(x2-x1)/(y2-y1)]
y= x/[(y2-y1)/(x2-x1)] + [(y2.x1-y1.x2)/(x2-x1)]/[(y2-y1)/(x2-x1)]
y=[(x2-x1)/(y2-y1)]x+[(y2.x1-y1.x2)/(y2-y1)]
y=ax+b
a=(x2-x1)/(y2-y1) INVERSO DO COEFICIENTE LINEAR DA FUNÇÃO ENTRE CENTRO
b=(y2.x1-y1.x2)/(y2-y1)

Função Normal a Reta entre Centros:
É a função inversa ou simétrica multipicada por -1.
y = -[(x2-x1)/(y2-y1)]x+[(y2.x1-y1.x2)/(y2-y1)]
a= -(x2-x1)/(y2-y1)=(x1-x2)/(y2-y1) igual ao da reta radial
b=-(y2.x1-y1.x2)/(y2-y1)=(y1.x2-y2.x1)/(y2-y1)

Dado as circunferências C1 e C2:
C1(-35,20), r1=10
Substituindo as coordenadas na fórmula da circunferência temos:
x²+y²+70x-40y+35²+20²-10² = 0
x²+y²+70x-40y+1525 = 0

C2(-17,18), r2=12
Substituindo as coordenadas na fórmula da circunferência temos:
x²+y²+34x-36y+17²+18²-12² = 0
x²+y²+34x-36y+469 = 0

Reta Entre Centros:
É só substituir as coordenadas de C1 e C2 em (y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0
(20-18)x+(-17+35)y+(18).(-35)-(20).(-17)
2x+18y-290 = 0
x+9y-145 = 0

Também podemos obter a reta entre centro e sua função  usando os coeficientes das circunferências:

Exemplo:
Montado a reta entre centros cuja equação é x+9y+145 = 0 a sua reta normal é obtida invertendo a função da reta entre centros e multiplicar por -1.
Ou seja, tranformar a equação em função. Trocar de posição as incógnitas. Isolar a incógnita y e multiplicar por -1. Vide figura abaixo:



7. Como Obter a Reta Central Apartir da Reta Radial
Como já sabemos a reta radial é uma combinação da equação da primeira menos a segunda equação.

x²+y²+70x-40y+1525 = 0
+
x²+y²+34x-36y+469 = 0 (multiplicar por -1)
36x-4y+1056 = 0

Isolando y => Reta Radial: y = 9x+264

A reta normal a reta radial é paralela a reta entre centros, ou seja, possuem o mesmo coeficiente ângular.
Para transformar a reta normal à radial em reta entre centros devemos multiplicar o coeficiente independente da reta normal à radial por um fato k. Obtém-se o fator k utilizando um ponto central (da primeira ou segunda circunferência) e um ponto da reta normal à radial tal que as coordenadas da reta normal multiplicadas por k são iguais as coordenadas do ponto na reta entre os centros. As coordenadas do ponto em função de k serão substituidas na equação da reta normal à radial, obtendo-se assim o seu valor.

Equação Geral da Reta: (y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0 ou Ax+By+C=0
Tangente: (y1-y2)/-(x2-x1) ou A/-B
Equação Reduzida: y = ax+b => para x = 0 => y = b
Ax+By+C=0 => isolar y
y = -(Ax+C)/B
a=-A/B e b = -C/B
Para x = 0 => y = -C/B

Quando multiplica-se A e B por um mesmo número real k, (k.Ax+k.By+C = 0), pertencente aos números reais a tangente não se altera, ou seja -kA/kB = -A/B, a reta tem a mesma inclinação, porém teremos um novo coeficiente independente b=-C/(k.B), ou seja, TEREMOS UMA RETA PARALELA.

Quando multiplica-se apenas C por um número real k, (Ax+By+C.k = 0), altera-se apenas o coeficiente independente b=-C.k/B, ou seja, TEREMOS UMA RETA PARALELA.

Repare que se for multiplicado por k os coeficientes A, B e C teremos uma reta coincidente.

Conforme figura abaixo se o ponto P(x,y) pertence a reta r, então o ponto P'(k.x,k.y) também pertence a reta r porque as coordenadas mantiveram a mesma proporção, a constante k mudou apenas a escala das coordenadas (tamanho). Esse raciocínio é empregado em retas coincidentes e retas paralelas.


Portanto se uma reta r de equação (Ax+By+C=0) é paralela a reta r' de equação (A'x+B'y+C'=0)
então (A/B)=(A'/B') e C≠C'. Existe número real k tal que k.C=C'.

Continuando:
P(x,y): ponto da reta paralela a reta entre centros ou ponto da reta normal a reta radial.
C1(-35,20): ponto da reta entre centros.
k.y = 20 => y = 20/k
k.x = -35 => x = -35/k

Na figura abaixo encontra se a reta radial pela combinação da equação da primeira circunferência menos a equação da segunda circunferência.
Reta Radial: y = 9x+264. A reta entre centros é paralela a reta normal da reta radial, vejamos:

Importante:
A equação geral da reta é (y1-y2).x+(x2-x1).y+(y2.x1-y1.x2) = 0 ou Ax+By+C=0
Ao multiplicarmos as coordenadas dos pontos por k teremos:
(k.y1-k.y2).x+(k.x2-k.x1).y+(k.y2.k.x1-k.y1.k.x2) = 0 ou k.Ax+k.By+k².C=0
Repare que podemos utilizar:
k.Ax+k.By+k².C=0 ou
Ax+By+k.C=0

Cálculo dos Pontos Secantes S1 e S2
Sistema (duas equações e incógnitas):
(I) x²+y²+70x-40y+1525 = 0
(II) 9x+264 = y

Substituir y de (I) em (II):
x²+(9x+264)²+70x-40(9x+264)+1525 = 0
82x²+4462x+60661 = 0

√Δ = 4462²-4(82)(60661) = 112.40
x = (-4462±112.40)/164 => x'= 27.89 e x'' = -26.52

Para x = -27.89 em 9x+264 = y => y = 12.99
Para x = -26.52 em 9x+264 = y => y = 25.32

Portanto os pontos secantes são:S2(-27.89,12.99) e S1(-26.52,25.32)

Reta Radial de Duas Circunferências Tangentes
Reta entre centros x+9y-145 = 0

Reta Radial de Duas Circunferências Não tangentes e não secantes:
Reta entre centros x+9y-145 = 0

Resumo
Equação geral da reta entre centros: 2(E2-E1)X+2(D1-D2)Y+(E2.D1)-(E1.D2) = 0
Função da reta entre centros: y = [(E1-E2)/(D1-D2)]x + [(E1.D2)-(E2.D1)]/(D1-D2)
Equação da reta radial: (D1-D2)x + (E1-E2)y+F1-F2 = 0
x²+y²+D1x+E1y+F1 = 0
+
x²+y²+D2x+E2y+F2 = 0 (vezes -1)
(D1-D2)x + (E1-E2)y+F1-F2 = 0

Função da reta radial: y = [-(D1-D2)/(E1-E2)]x + (F2-F1)/(E1-E2)

Exercício 1: Provar que o ponto P da figura abaixo é uma intersecção das retas radiais s1, s2 e s3.

Resolução:
Iremos escolher a potência de um ponto P tal que seja a mesma para as três circunferências, ou seja, é o centro de uma cicunferência com raio igual a distância do ponto P até o ponto tangente para cada circunferência.


Circunferências
C1(-30,50) e r1=5
x²+y²+60x-100y+3375=0
C2(-45,20) e r2=10
x²+y²+90x-40y+2325=0
C3(-17,18) e r3=15
x²+y²+34x-36y+388=0
Retas radiais
s1: -26x+64y-2987=0 => y=(13/32)x+(2987/64)
s2: 30x+60y-1050=0 => y=-x/2 +105/6
s3:14x-y+453=0 => y=14x + 1937/4
Encontrar o ponto P (s2 e s3 se interceptam):
14x + 1937/4 = -x/2 +105/6 => x=-32.189 => y=33.594
P(-32.189,33.594)
Encontrar a distância entre P e C2 => d= 18.679
r2²+p² =d² => p=15.777
Portanto:
P(-32.189,33.594) e p=15.777
P é o centro de uma circunferência de raio p.

Na próxima figura podemos verificar que o ponto P pertence as três radiais, logo é intersecção das mesmas: