Geometria II


Em Geometria I estudou-se a reta, base para as demais figuras, não devemos confundí-las com as demais curvas, pois a proporcionalidade é sua principal característica não presentes nas demais curvas. Por isso, a perspectiva de uma reta é também outra reta ou um ponto, agora, a perpectiva de uma curva é outra curva diferente ou uma reta. Embora nesta fase iremos tratar apenas de curvas no plano, fica aqui essa ressalva para a fase seguinte que é o estudo das figuras ou curvas no espaço, pois a realidade é em três dimensões.

1. Equação Padrão ou Reduzida da Circunferência. Função da Circunferência.
A circunferência é o lugar geométrico (gráfico) dos pontos equidistantes de um ponto central fixo, no mesmo plano. A distância do centro a qualquer ponto da circunferência se chama raio que é constante.

P(x,y): ponto pertencente a circunferência.
C(xc,yc): centro.
r: raio (decorre dos pontos P e C).
Domínio da função f(x): [xc-r,xc+r]
xc, yc e r: são três constantes arbitrárias, independentes e determinadas (arbitrárias: qualquer valor real, independentes: uma não depende da outra, e determinadas: três existências distintas). Quando as três  constantes forem determinadas, ou seja, atribuido algum valor para cada uma, assim a circunferência ficará determinada. Caso haja a determianção de uma ou duas condiçoes apenas a circunferência não será única, ou seja, não determinada. A condição ou constante faltante para a determinação da circunferência pode ser chamada de parâmetro. Por exemplo, circunferências de mesmo centro formam uma família uniparamétrica de circunferência (raios diferentes e mesmo centro).

Obs: Uma função nada mais é do que uma transformação de uma equação. Exemplo: a equação da tangente transforma-se em função de 1º grau (reta).

Equação Padrão ou Reduzida da Circunferência:
(x-xc)² + (y-yc)² = r²
Dado o ponto C(xc,yc) no centro da circunferência e o seu raio r, cada ponto P(x,y) pertencente a circunferência satisfazerá a equação padrão, assim, a circunferência poderá ser plotada relacionando as coordenadas  de seus pontos na função f(x) = y.

Equação Simplificada da Circunferência, quando C(0,0), ou seja, xc=0 e yc=0:
x² + y² = r²

Determinação de uma circunferência por pontos
:
Uma circunferência pode ser determinada de várias formas. As mais simples são:
- Três pontos distintos que também determinam um plano.
- Um ponto da circunferência e o seu ponto central.
- O ponto central e o valor do raio (decorrente da anterior).

1.1. Circunferência Determinada por Três Pontos Distintos
Para três pontos distintos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) pertencentes a uma circunferência, montar sua fórmula (determinação) devemos achar as coordenadas de seu ponto central e o valor do raio.

Vejamos a circunferência abaixo:
Cabe salientar que três pontos não colineares formam um triângulo e uma circunferência que passa por esse três pontos circunscreve o triângulo.


O centro da circunferência é a intersecção entre as mediatrizes chamado de circuncentro. As mediatrizes são perpendiculares aos lados do triângulo no respectivo ponto médio. Portanto, as mediatrizes pertencem as retas normais aos respectivos lados do triângulo.
Na figura abaixo temos:
Os pontos P1(x1,y2), P2(x2,y2) e P3(x3,y3).
Os pontos médios dos lados são M1(xm1,ym1) e M2(xm2,ym2)
r1: reta que contém os pontos P1 e P2, cuja inclinação é α1.
r2: reta que contém os pontos P2 e P3, cuja inclinação é α2.
n1: reta normal a r1 em M1, cuja inclinação é θ1.
n2: reta normal a r2 em M2, cuja inclinação é θ2.

Etapa1: achar os pontos médios.
xm1 = (x1+x2)/2 e ym1 = (y1+y2)/2 => M1(xm1,ym1)
xm2 = (x2+x3)/2 e ym2 = (y2+y3)/2 => M2(xm2,ym2)

Etapa2: achar as inclinações das retas r1 e r2.
tgα1 = (y2-y1)/(x2-x1)
tgα2 = (y3-y2)/(x3-x2)
Obs:
tgα1 = (y1-y2)/(x1-x2)
tgα2 = (y2-y3)/(x2-x3)

Etapa3: achar as inclinações das retas normais n1 e n2.
tgα1 = -1/tgθ1 => tgθ1 = -1/tgα1
tgα2 = -1/tgθ2 => tgθ2 = -1/tgα2

Obs:
- A tangente de um mesmo ângulo é diretamente proporcional ao respectivo ângulo (linha reta);
- A tangente de α é inversa da tagente do ângulo complementar (90º - α) => tgα = 1/tg(90º - α)
- A tangente do ângulo suplementar (90º - α) à θ é o oposto da tangente de θ => tg(90º - α) = - tgθ

Etapa4: montar as equações das retas normais n1 e n2.
A declividade de n1 (tgθ1) e o ponto M1(xm1,ym1) são facilmente calculados utilizando as etapas anteriores, monta-se a equação1 com as coordenadas de  C(xc,yc) como incógnitas.
tgθ1 = (ym1 - yc)/(xm1-xc) => equação 1

A declividade de n2 (tgθ2) e o ponto M2(xm2,ym2) são facilmente calculados utilizando as etapas anterioresjá, monta-se a equação2 com as coordenadas de C(xc,yc) como incógnitas.
tgθ2 = (ym2 - yc)/(xm2-xc) => equação 2

Etapa5: resolver o sistema de duas equações e duas incógnitas.
xc = ? e yc = ? (só substiruir os dados nas fórmulas)

Etapa6: Com as coordenadas dos pontos P1, P2, P3 e C é só achar o valor do raio r e atribuir um ponto genérico P(x,y) na circunferência e montar a fórmula usando o raio r e as coordenadas de C(xc,yc) e P(x,y).
r² = (x-xc)² + (y-yc)²

Obs: ângulos: nulo = 0º, 0º<agudo<90º, 90º<obtuso<180°, raso=180°.


1.2. Forma Geral da Equação Simplificada da Circunferência

É o desenvolvimento da sua própria Equação Padrão.
r² = (x-xc)² + (y-yc)²=> x² - 2.x.xc + xc² + y² - 2.y.yc + yc²
Simples agrupamento: x² + y² - (2.xc)x  - (2.yc)y + xc² + yc² - r² = 0
D = - (2.xc)
E = - (2.yc)
F = xc² + yc² - r²
x² + y² +D.x  + E.y + F = 0
A fórmula geral só é utilizável após reduzí-la a forma padrão.

Para que a Forma Geral da Equação da Circunferência represente um circunferência deve-se reduzí-la a forma padrão, isso é feito adiconando (D²/4 + E²/4) a ambos os membros da equação geral, isso se chama método de completar os quadrados.

Os valores possíveis para o raio são:
1) D² + E² - 4F = 0 => neste caso o raio é igual a zero, não iremos considerar essa situação.
2) D² + E² - 4F < 0 => o raio não pertence ao números reais (pertence aos números imaginários).
3) D² + E² - 4F > 0 => Única situação a ser considerada.

D, E e F: são três constantes arbitrárias e independentes (arbitrárias: qualquer valor real, independentes: uma não depende da outra, ou seja, três existências distintas), porém, com a condição acima assinalada.

Obs
:
Equação 1 → Transformação → Equação 2
Equação 2 → Completar os quadrados → Equação 1


Exemplo genérico
:
Dados três pontos P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) pertencentes a uma circunferência, ao substituir suas coordenadas na equação  (x-xc)² + (y-yc)² = r² produzirá três equações, cuja raiz do sistema será o valor das incógnitas xc, yc e r.
Da mesma forma se procede caso a equação esteje na forma geral x² + y² +D.x + E.y + F = 0, onde D = -2xc, E =  -2yc e F = xc² + yc² -r²

Exemplo 1:
Verificar se a equação 2x² + 2y² -6x + 10y + 7 = 0 representa uma circunferência.
Solução
Devemos deixar equação na forma geral, x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 e depois devemos transformá-la na forma padrão pelo método de completar os quadrados.

2x² + 2y² -6x + 10y + 7 = 0 = 0 Dividir por 2
x² + y² - 3x + 5y + 7/2 = 0  
D = -3, E = 5 e F = 7/2
Somar (D²/4 + E²/4) nos dois membros da equação para completar os quadrados.
D²/4 = 9/4 e E²/4 = 25/4
(x² - 3x +9/4) + (y² + 5y + 25/4) = -7/2 + 9/4 + 25/4
(x - 3/2)² + (y + 5/2)² = (51/2

Compar com a equação padrão (x - xc)² + (y - yc)² = r²

xc = 3/2, yc = -5/2 e r = 51/2
Ou seja: Centro C(3/2,-5/2) e raio = 51/2.

Como saber se uma equação de 2º grau do tipo ax²+by²+cxy+f.x+e.y+f=0 representa uma circunferência?
Tente reduzí-la a forma x²+y²+D.x+E.y+F=0, com:
a=b => dividir a equação por a
c=0
D² + E² - 4F > 0

Exemplo 2:
Verificar se a equação 3x²+y²-4x+2y-8 = 0 representa uma circunferência.
3+-4x+2y-8 = 0. Não é uma equação de uma circunferência porque os coeficientes dos termos do segundo grau (3 e 1) não são redutíveis à unidade.

Exemplo 3:
Verificar se a equação  x²+y²-2x-6y+14 = 0 representa uma circunferência.
Não é uma equação de uma circunferência porque o raio não existe.
D= -2, E = -6 e F= 14
D² + E² - 4F = -16 => r² = -6 (não existe)

Exemplo 4:
Determinar a equação padrão da circunferência (x – a)² + (y – b)² – r² = 0 que passa pelos pontos Ponto1(-2;4), Ponto2(-1;1) e Ponto3(3;9).
Solução:
Desenvolvendo a equação padrão temos: x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Substituindo as coordenadas dos pontos na equação geral temos:
Ponto1: 4+16+4a-8b+a²+b²-r²=0 (I)
Ponto2: 1+1+2a-2b+a²+b²-r²=0 (II)
Ponto3: 9+81-6a-18b+a²+b²-r²=0 (III)

(I) menos (II) => a -3b = -9
(I) menos (III) =>10a+10b = 70
(II) menos (III) => 8a+16b = 88

Substituindo (I) - (II) => a = -9+3b em (I) - (III) temos:
(-9+3b) +b = 7 => b =16/4 = 4
a+4 = 7 => a = 3

Substituindo a e b na equação geral temos:
x² + y² – 6x – 8y + 9 + 16 – r² = 0

Substituindo Ponto2(-1;1) na equação anterior temos:
1+1+6-8+9+16-r² = 0 => r = 5

Portanto a equação da circunferência é (x – 3)² + (y – 4)² – 5² = 0

1.3. Equação Geral da Circunferência na Forma de Deteminante

A circunferência que passa por três pontos não colineares P1(x1,y1), P2(x2,y2) e P3(x3,y3) tem por equação, sob a forma de deterrminante:
 
Fonte: Geometria Analítica, Charles H. Lehmann, Editora Globo, 6ª Edição, 1987, folha 93.
Copyright 1942 by John Wiley & Sons, Inc., New Your.

1.4. Posição de Ponto em Relação a Circunferência
- Com base na figura abaixo, dado a equação geral da circunferência x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 é achado o centro C(xc,yc) e o raio r.
- Dado um ponto P(x,y) como saber se o mesmo é interno, externo ou pertencente a circunferênia?

Basta substituir as coordenadas do ponto P(x,y) na equação geral x² + y² +D.x  + E.y + F = 0:
- Se o resultado é zero o ponto P pertence a circunferência.
- Se o resultado é maior que zero o ponto P é externo a circunferência, maior que o raio.
- Se o resultado é menor que zero o ponto P é interno a circunferência, menor que o raio.
Conclusão: a equação geral da circunferência igual a zero significa que o ponto P(x,y) pertence a circunferência, isso é mais perceptível na equação padrão da circunferência, (x-xc)² + (y-yc)² = r².

1.5. Inequações
Para todos os pontos internos a circunferência teremos: (x-xc)² + (y-yc)² < r²
Para todos os pontos externos a circunferência teremos: (x-xc)² + (y-yc)² > r²

Repare que a primeira figura representa o conjunto de circunferências com mesmo centro C e raio menor que r.
E a segunda figura representa o conjunto de circunferências com mesmo centro C e raio maior que r.

1.6. Posição de Reta e Circunferência
- Com base na figura abaixo, dado a equação geral da circunferência x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 é achado o centro C(xc,yc) e o raio r.
- Dado uma reta s com equação geral Ax + By + C = 0 como saber se a mesma é secante, tangente ou não intecepta a circunferênia?


Resolução genérica:
Primeiro, conforme figura abaixo, foi desenhado a reta n normal a reta s.
1º) Achar a reta n normal a reta dada s:

2°) Achar a distância d que vai do ponto C(xc,yc) até reta normal n.
3º) Achar a distância de C(xc,yc) a reta s.
Se
dCP' = r, s é tangente a circunferência.
Se dCP' < r, s é secante a circunferência.
Se dCP' > r, s é externa a circunferência.

Resumo de Fórmulas:
1) Equação Geral da Reta s: A.x + B.y + C = 0
2) Distância Entre Dois Pontos

3) Reta Normal
A primeira observação é que a fórmula da equação da reta normal é feita com um ponto na origem do sistema de coordenadas (zero). Ao acharmos o valor de p podemos compará-lo com o raio r da circunferência e consequentemente saber se o pnto P é interno, tangente ou externo a circunferência.
Para generalizar ao máximo as possibilidades da relação entre reta e circunferência foi levado em consideração o sistema de coordenadas do objeto (circunferência), isto é, o sistema de coordenadas-x'y'.

Um nome apropriado para o sistema de coordenadas-x'y' com origem em C(xc,yc) seria sistema de coordenadas semelhantes ou sistema de coordenadas auxiliares. Isso porque sua origem não é no 0 (zero) e sim no ponto C que pertence ao sistema de coordenadas-xy.

Obs: A TRANSLAÇÃO DA ORIGEM DO SISTEMA DE COORDENADADES DE 0 (ZERO) PARA C NÃO ALTERA AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (SENO E COSSENO) PORQUE OS EIXOS NAS DUAS POSIÇÕES SÃO PARALELOS.  OU SEJA,  NÃO ALTERAM  AS  FÓRMULAS  (retas,  circulos,  etc).
Considerações:
- A reta normal n passa pela origem do sistema de coodenadas (zero) e é perpendicular a reta s no ponto P. Não necessariamente passa pelo ponto central C.
- O raio é perpendicular a reta tangente a circunferência no ponto de tangência.

1.4.1. Reta Tangente a Circunferência
No item anterior já foi demonstrado a tangência de uma reta a uma circunferência, neste item iremos fazer a mesma coisa, porém de forma algébrica.

Dada a forma geral da circunferência abaixo x² + y² +D.x  + E.y + F = 0 vamos determinar a equação de uma reta que seja tangente a circunferência no ponto P1(x1,y1). Supondo que y1 ≠ 0.
Sabemos que o raio é normal a reta tangente no ponto P1.
O ponto P1(x1,y1) pertence a reta t e seja P(x,y) um ponto genérico dela,  então a sua equação fica determinada com  o cálculo de sua declividade ou tangência (a):


Reta t: y-y1 = a(x-x1) ou y = ax-ax1+y1.

Então tudo o que nos resta a fazer é determinar o coeficiente angular a.
Substituindo y na equação da circunferência temos:

x² + (ax - ax1+y1)² + Dx + E(ax-ax1+y1)+F = 0

isto é:

x²+a²x²-2a²xx1+a²x1²+2axy1-2ax1y1+y1²+Dx+Eax1+Ey1+F=0

que é uma equação do segundo grau que, pela unicidade da solução P, tem discriminante igual a zero (Δ = 0).

Logo:

(2ay1-2a²x1+D+Ea)²-4(a²+1)(a²x1²-2ax1y1+y1²-Eax1+Ey1+F)=0

e resolvendo essa equação encontramos o valor de a procurado. Isto é devemos resolver

(E²-4Dx1-4F-4x²) + (4Dy1+2DE+8x1y1+4Ex1)a + (D²-4y1²-4Ey1-4F) = 0

Posições de Retas sobre uma Circunferência


1.7. Circunferências Secantes
Dado uma circunfenrência de centro C1 secante a circunferência de centro C2 teremos os pontos A e B pertencentes a ambas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo.
Circunferência 1: (x-x1)²+(y-y1)² = r1²
Circunferência 2: (x-x2)²+(y-y2)² = r2²
Reta s passando por C1 e C2.
Dado C1(x1,y1), C2(x2,y2), r1 e r2 teremos uma sistema de duas equações e duas incógnitas.



Exemplo 5: Obter a intersecção entre as circunferências C1 e C2, cujas equações são: C1: x²+(y−2)² =4 e C2:(x−1)²+y²=1.


1.7.1. Flexa (geometria pura)
A secante forma uma arco e uma corda das quais obtém-se a sua flexa.


1.7.2. Três Circunferências Secantes
Conforme item 1.7., dado a circunferência 1 de centro C1 e equação x² + y² +D1.x  + E1.y + F1 = 0 secante nos pontos A e B a circunferência 2 de centro C2 e equação x² + y² +D2.x  + E2.y + F2 = 0.
Os pontos A e B são determinados através da euação 1 e equação 2. Portanto par determinação d circunferência 3 temos os pontos A e B,necessita-se a determinação de mais um ponto sobre a terceira circunferência ou o seu raio (r3) ou ainda o seu centro (C3) para sua determinação.

Os centros C1, C2 e C3 são colineares.

Esquema:
Sistema
Equação 1: x² + y² +D1.x  + E1.y + F1 = 0 (I)
Equação 2: x² + y² +D2.x  + E2.y + F2 = 0 (II) (multiplicar por -1)
       +          (D1-D2)x + (E1-E2)y + (F1 - F2) = 0

Isolar y e substituir na equação 1 => xa e xb
xa => equação 1 => ya, ponto A(xa,ya)
xb => equação 1 => yb, ponto B(xb,yb)

A circunferência 3 que passa pelos pontos A e B terá seu centro sobre a reta s, necessita-se de mais informação para determinação de seu centro.

Exemplo 6:
Dado a circunferência 1 de equação x²+y²+7x-10y+31 = 0 e a circunferência 2 de equação x²+y²-x-6y+3 = 0. Determinar a circunferência 3 que passa pelos pontos secantes cuja centro encontra-se sobre a reta x-y-2 = 0.
Solução 1:

x²+y²+7x-10y+31 = 0 (I)
+
x²+y²  -x  -6y+ 3  = 0 (II) (-1)
8x - 4y + 28 = 0
2x - y = -7 => y = 7+2x

Substituindo y em (I) temos:
x²+(2x+7)²+7x-10(2x+7)+31 = 0
5x² + 15x +10 = 0
Resolvendo a equação de 2º grau temos: xa = -1 e xb = -2.

Substituindo xa=-1 na equação (I) temos ya = 5, ou seja, ponto A(-1,5)
Substituindo xb=-2 na equação (I) temos yb = 3, ou seja, ponto B(-2,3)

Seja a circunferência 3 com a equação (III) x² + y² +D3.x  + E3.y + F3 = 0
A(-1,5) em (III) temos: -D3  + 5E3 + F3 = -26
B(-2,3) em (III) temos: -2D3  + 3E3 + F3 = -13

-D3  + 5E3 + F3 = -26
+
-2D3  + 3E3 + F3 = -13 (multiplicar por -1)
D3  + 2E3  = -13

Teremos o sistema:
D3  + 2E3  = -13
x-y-2 = 0.

Substituindo xc e yc no sistema anterior temos:
Como:
D = - (2.xc)
E = - (2.yc)

O sistema fica:
-2xc-4yc = - 13
xc-yc = 2
Resolvendo o sistema temos: yc = 3/2 e xc = 7/2

Temos que:
r² = (x-xc)²+(y-yc)²

Para A(-1,5)
r² = (-1 - 7/2)² + (5 - 3/2)² => r² = 130/4

Como:
F = xc² + yc² - r²

Substituindo os valores:
F = -18

Portanto
(III) x²+y²-3x-7y-18 = 0



Solução 2:
Existe um valor real k que multiplicando pela equação (II) e Somando com a equação (I) obtemos a equação (III).

x²+y²+7x-10y+31 = 0 (I)
+
x²+y²  -x  -6y+ 3  = 0 (II) (k)
(1+k)x²+(1+k)y²+(7-k)x-(10+6k)y+31+3k= 0

(1+k)x²+(1+k)y²+(7-k)x-(10+6k)+31+3k= 0 multiplicar por 1/(1+k) para reduzir o coeficiente a x² e y².

x²+y²+(7-k)/(1+k)x-(10+6k)/(1+k)y+31/(1+k)+3k/(1+k)= 0
Como:
D = - (2.xc)
E = - (2.yc)
xc = (k-7)/2(1+k)
yc = (3k+5)/(1+k)

Substituindo (xc,yc) em x-y-2 = 0 temos:
[(k-7)/2(1+k)] - [(3k+5)/(1+k)] - 2 = 0 => k = -7/3

Substituindo k = -7/5 em x²+y²+(7-k)/(1+k)x-(10+6k)/(1+k)y+31/(1+k)+3k/(1+k)= 0 temos:

x²+y²-7x-3y-18 = 0