Geometria III


1. Geometria Espacial
A geometria analítica é a mais adequada para trabalhar com objetos no espaço com programação (software), porém requer o conhecimento da geometria clássica, da álgebra, da geometia descritiva, vetores, perspectiva, etc.

1.1. Ponto no Espaço
Na geomtria analítica plana os conceitos de ponto, ângulo, circunferência, reta e triângulo são interdependentes. As figuras são criadas dentro do sistema de coordenadas cartesianas com o eixo-x na horizontal perpendicular ao eixo-y na vertical que formam um único plano-xy. O ponto é localizado através de sua projeção ortogonal no eixo-x e no eixo-y que produz a coordenada-x e a coordenada-y que formam um retângulo. O plano é bi-direcional ou bi-dimensional.

Na geometria analítica espacial, o sitema de coordenadas no espaço possui três eixos, o eixo-x, o eixo-y e o eixo-z. Esses três eixos formam os planos de projeções ortogonais, plano-yz, plano-yx e plano-zx. A disposição dos eixos na vertical e horizontal variam conforme a necessidade prática, é comum o eixo-x ficar na horizontal e o eixo-y na vertical. Os eixos são perpendiculares aos planos formados.

Da mesma forma que utilizamos ponto, reta, ângulo, circunferência e triângulo para determinar o ponto e a reta no plano, as utilizamos para determinar o ponto no espaço, pois continuamos a trabalhar com plano, mas dessa vez com três planos de projeções. O espaço é tri-direcional ou tri-dimensional.
O triângulo está para o ponto no plano assim como a pirâmide está para o ponto no espaço.
Problemas simples tornam-se complicados devido a dificuldade de enxergar detalhes espaciais. Para ajudar nessa tarefa utilizamos a perspectiva, a projeção e a vista que devem ser muito bem entendidas.

Entendimentos básicos:
- Menor distância entre dois pontos: um seguimento de reta.
- Formam um plano: 1) duas retas que se interceptam; 2) três ponto;  e 3) duas retas paralelas.
- Sistema de coordenadas ortogonais: três retas orientadas no espaço que se interceptam em ângulo de 90º;
- Localiza um ponto no espaço: as três menores distâncias do ponto até os eixos do sistema de coordenadas ortogonais.

1.2. Perspectiva
Para representar figuras ou objetos em três dimensões em uma folha de papel ou em uma tela de monitor é utilizado a perspectiva ou a projeção. A perspectiva é uma técnica em que o espaço tri-dimensional é representado no plano, porém, imaginando ser um espaço tridimensional. As arestas de uma perspectiva formam ângulos no plano diferentes das correspondentes aresta do objeto real no espaço. Devemos adequar a perspectiva de forma que facilite a resolução do problema que estamos resolvendo. Há várias formas de trabalhar com perspectiva.

Quando trabalhamos com desenho técnico ou científico devemos aproximar ao máximo a perspectiva com o objeto real no espaço, assim trabalhamos com projeções ortogonais, o eixo horizontal e o eixo vertical correspondem com as medidas verdadeira.

Na perspectiva abaixo o eixo-x está no plano formado pelo eixo-y e o eixo-z, porém, o eixo-x é imaginado como perpendicular ao plano-yz e possui uma coordenada verdadeira (abscissa).

O eixo-z na vertical e eixo-y na horizontal. O eixo-x forma 135º com o eixo-y e com o eixo-z, porém esses mesmos ângulos são de 90º na imaginação.

A perspectiva é uma figura de apenas visualização, as medidas reais na perspectiva não correspondem com o objeto no espaço devido a alteração do eixo-x. Portanto, a perspetiva é uma técnica para dissimular uma figura plana como se fosse uma figura no espaço. Primeiro tem se o objeto no espaço e através da observação é desenhado a perspectiva.


A perspectiva é uma técnica que auxilia a geometria analítica e a geometria descritiva. Utilizada na  formação de figuras de apresentação como em desenhos animados, layout de prédios (design interior e exterior).

1.3. Projeção Ortogonal
Projeção de um ponto significa traçar uma reta perpendicular do próprio ponto até a reta ou plano de projeção. A distância é a menor que existe.

Projeção Simulada ou de uma Perspectiva
A projeção ortogonal no espaço é demonstrada através de perspectiva.

1.3.1. Projeção Ortogonal dos Raios de Luz

Raios de luz ortogonais podem criar imagens de objetos em um plano de projeção já que a luz se propaga em linha reta. Além de fazer o papel das linhas de chamada os raios de luz criam a projeção de objetos opacos. Essa técnica junta a física óptica e a geometria. A figura abaixo exemplifica um exemplo simplificado.



1.4. Diferença entre Perspectiva e Projeção
Embora um objeto no espaço ao ser projetado ortogonalmente em um plano produzirá um imagem projetada. A projeção é plana assim como a perspectiva, poderíamos dizer que a projeção é uma perspectiva verdadeira. A perspectiva era muito usada quando os desenhos técnicos eram feitos em pranchetas, com o advento dos computadores é mais produtivo e viável trabalhar com projeções do que criar uma perspectiva.
A projeção de imagem no plano cria uma perspectiva real que torna o trabalho da geometria analítica muito mais interessante.
Toda projeção de um objeto no plano forma uma perspectiva, mas nem toda perspectiva de um objeto forma uma projeção.
1.5. Vista de Projeção Ortogonal em Perspectiva
É a projeção ortogonal de todos os pontos visíveis do objeto sobre o plano ortogonal de projeção.
Os pontos visíveis do objeto são separados por uma secção plana paralela ao plano ortogonal de projeção. Os pontos que formam a borda externa que delineiam o objeto pertencem a uma secção plana π que corta o objeto sendo paralela ao plano ortogonal de projeção π', tal plano é o campo de visão.
A vista ortogonal é formada pela projeção ortogonal de cada ponto visível.

rπ  e rπ'

Vista do objeto: pode referir se a vista real do objeto no espaço ou a sua vista de projeção ortogonal.

1.5.1. Vistas de um Cubo em Verdadeira Grandeza
O sistema de coordenadas ortogonais possui três vista tomando o observador como referência: frente, topo e lateral. Cada vista ortogonal tem uma vista oposta: frente↔fundo, topo↔base e lateral direita↔lateral esquerda. A vista de frente fica de frente para o observador, a vista da lateral direita fica a direta do observador. A vista da lateral esquerda fica a esquerda do observador.

1.5.2. Vista de 45º

A vista é decorretente da técnica de projeções ortogonais em um plano ou linha de visão. O campo de visão tem 180º e forma uma plano que contém a reta r3 e r3'.
Uma vista de 90º ou perpendicular tem a dimensão real.
Uma vista de 45º tem uma dimensão real multiplicado por √2.
A distância entre o observador e o ponto visto não influencia porque não estamos tratando de formação de imagens projetadas.
Mesmo plano significa que P1, P2, P2', O1 e O2 estão no mesmo plano.


1.5.3. Vista de 45º no Espaço
Seguindo o mesmo raciocíno da vista de 45º no plano, no espaço a inclinação de 45º pode ser de um, dois ou dos três eixos.

1.6. Sistema de Coordenadas Projetado
Se utilizarmos a projeção como perspectiva há várias vantagens. A imagem formada no plano de projeção guarda uma relação com as medidas reias do objeto no espaço conforme a sua inclinação, isso torna a imagem projetada mais realista do que umaperspectiva qualquer.
Seria mais conveniente usar um sistema de coordenadas de 135º que representaria a imagem de um sitema de coordenadas verdadeiro e os três eixos estariam em uma mesma escala. Os três eixos do sistema de coordenadas projetados da forma abaixo indicados estão em uma mesma escala, essa é a vantagem sobre qualquer outra inclinação do sitema de coordenadas verdadeiro no plano.

1.7. A Geometria Descritiva
A geometria descritiva utiliza perspectiva e projeções para representar um objeto no espaço em dois ou três planos de projeções.
A técnica utilização na geometria descritiva pode variar, mas os fundamentos são os mesmos,  utiliza basicamente esquadro, prancheta, compasso, réguas, gabaritos e escalímetro para dimensionar o desenho, ou seja, NÃO utiliza funções ou equações. Com o advento do computador o desenho passou a ser automatizado por software e a geometria analítica tornou-se mais viável por trabalhar com medidas reais, mas mesmo assim, a geometria descritiva auxilia no entendimento de desenhos e vistas utilizados para explicar a própria geometria analítica.

O ponto no espaço é identificado normalmente através de um sistema de coordenadas com três eixos orientados perpendiculares entre si.

Projeção do Método Mongeano
É um método com duas etapas:
- A primeira é a criação de uma perspectiva para representar um objeto no espaço com o eixo-y na horizontal, eixo-z na vertical e eixo-x com 135º em relação ao eixo-y.
- A segunda é a criação de duas vistas em apenas um plano com medidas em verdadeira grandeza. As duas vistas são divididas por uma linha chamada linha de terra. A vista produzida no plano vertical é reproduzida na parte de cima da linha de terra em verdadeira grandeza. A vista produzida no plano horizontal é reproduzida na parte de baixo da linha de terra em verdadeira grandeza. Esse etapa é comumente explicada como um rebatimento do plano horizontal sobre o plano vertical. A resoluçao do problema consiste em reproduzir o que foi visto na perperctiva na vista em épura ou rebatimento dos planos.

Exemplo:
Um problema típico para exemplificar, dado dois pontos no espaço como calcular graficamente a distância entre ambos?
Ponto P1, abscissa a1, afastamento f1 e cota c1.
Ponto P2, abscissa a2, afastamento f2 e cota c2.

Este método tem duas etapas:
1ª Etapa - Perspectiva
Criar uma perspectiva para orientar as disposições das projeções. A perspectiva pelo método de Monge tem o eixo-x uma inclinação de 135º (sentido horário) ou 45º (sentido anti-horário) em relação ao eixo-y horizontal, o plano-zx é formado pelo eixo horizontal (eixo-y) e o eixo vertical (eixo-z).
O eixo-y é o eixo horizontal que mede o afastamento na perspectiva e o eixo-z é o eixo vertical que mede a cota (altura) na perspectiva. O eixo-x mede a abscissa, forma um ângulo de 135º com o eixo-y. Embora utiliza-se as medidas reais de abscissa, afastamento e cota na perspectiva, por ser uma figura plana, as outras aresta não possuirão dimensão real.
O método de projeção mongeano utiliza apenas um plano horizontal e um plano vertical para identificar um ponto no espaço, porém, utiliza o afastamento que supre a falta do terceiro plano.
A perspectiva é uma simulação de um sistema de coordenadas ortogonais.

Cota: é a linha que passa pelo ponto no espaço e é perpendicular ao Plano Horizontal.
Afastamento: é a linha que passa pelo ponto no espaço e é perpendicular ao Plano Vertical.
Linha de Terra: intersecção entre o Plano Vertical e o Plano Horizontal.
Repare na figura abaixo que apenas os pontos de projeções P1',P1'', P2' e P2'' são suficientes para determinar os pontos P1 e P2, porém, utiliza implicitamente três eixos (afastamento: eixo-y, cota: eixo-z e linha de terra: eixo-x).

Etapas para Formar um Seguimento de Reta em Perspectiva
Dado um seguimento de reta P1P2 no espaço, tal seguimento é considerado a diagonal de um paralelepipedo no espaço. A figura abaixo mostra as etapas para desenhar a perspectiva de uma
de um paralelepipedo no espaço apartir de sua diagonal P1P2.


A medida d é a hipotenusa do triângulo azul que é facilmente encontrada através da geometria plana através da algebra, porém, na geometria descritiva não utiliza a algebra, mas régua, compaço e prancheta.

Algumas considerações sobre a projeção ortogonal:
- No método da dupla projeção ortogonal, quando um ponto pertence a uma reta, as projeções do ponto (P1' e P2', P1'' e P2'') estão situadas sobre as projeções de mesmo nome da reta (P1' e P2' formam uma projeção da no plano horizontal e P1'' e P2'' formam uma projeção da reta no plano vertical).
- Para que um ponto pertença a uma reta, basta que as projeções do ponto pertençam às projeções de mesmo nome da reta (mesmo plano).
- Obviamente, se duas retas são concorrentes, o ponto de concorrência (ou de concurso) deverá ser comum às duas retas em questão, ou seja, as projeções do ponto deverão pertencer, simultaneamente, às projeções de mesmo nome da reta.
- Podemos concluir então que, quando duas - ou mais - retas são paralelas, suas projeções de mesmo nome são, também, paralelas.

2ª Etapa - Rebatimento (épura)
Após fazer as projeções nos planos horizontal e vertical, o plano horizontal é rebatido sobre o plano vertical (operação mental) criando assim um novo plano real. Um novo plano é criado e dividido ao meio pela linha de terra. Os pontos do plano vertical da perspectiva são transportados para o novo plano acima da linha de terra com abscissas, afastamentos e coordenadas reais. Os pontos do plano horizontal da perspectiva são transportados para o novo plano abaixo da linha de terra com abascissas, afastamentos e coordenadas reais.

Rebatimento Ortogonal (Verdadeira Grandeza)
Transposição das medidas projetadas na perspectiva para um novo plano em verdadeira grandeza.
A figura abaixo exemplifica o que foi dito.

Transformação da Épura
Na épura podemos com régua e compaço pegar as medidas vistas na perspectiva e assim montar a resolução do problema. As medidas que precisamos estão na épura, mas precisamos interpretá-las.
Ao observar a perspectiva podemos notar que o triângulo retângulo azul formado por uma cota, uma diagonal de uma face e a diagonal do paralelepipedo. Então devemos com auxílio de régua e compasso criar esse triângulo cuja hipotenusa é a distância entre os dois pontos.
Hipotenusa: d (é a distância entre os dois pontos)
Cateto: c3=c2-c1 (sua posição deve ser interpretada)
Traçar a reta s⊥P1'P2'

A técnica é relativamente simples, o que for enxergado com a perspectiva deve ser criado na épura. Sabemos da posição do cateto c3 através da perspectiva.

1.8. Orientação de um Ponto P(x,y,z) no Espaço

A figura abaixo mostra o Ponto P(x,y,z) no espaço e suas projeções.
1º) Projeções do ponto P do espaço nos planos de Projeções
Plano-yz: ponto P'(0,y,z), plano-xy: ponto P''(x,y,0) e plano-xz: ponto P'''(x,0,z).
2º) Projeções nos eixos das projeções do ponto nos planos
Projeções de P'(0,y,z): ponto Py(0,y,0) e ponto Pz(0,0,z).
Projeções de P''(x,y,0): ponto Py(0,y,0) e ponto Px(x,0,0).
Projeções de P'''(x,0,z): ponto Pz(0,0,z) e ponto Px(x,0,0).
Ou seja o ponto P(x,y,z) é localizado pelas coordenadas x, y e z.

Distância de um Ponto até a origem:
d=√(x-0)²+(y-0)²+(z-0)² => d = √x²+y²+z²

Para localizar um ponto no espaço fazemos três projeções no plano, cada projeção no plano é outro ponto que então será projetado nos respectivos eixos produzindo um ponto em cada eixo.
- A projeção do ponto P(x,y,z) no plano-yz produz o ponto P'(0,y,z). A projeção do ponto P'(0,y,z) no eixo-y produz o ponto Py(0,y,0) que possue apenas a coordenada-y e a projeção do ponto P'(0,y,z) no eixo-z produz o ponto Pz(0,0,z) que possue apenas a coordenada-z.
- A projeção do ponto P(x,y,z) no plano-yx produz o ponto P''(x,y,0). A projeção do ponto P''(x,y,0) no eixo-y produz o ponto Py(0,0,y) que possue apenas a coordenada-y e a projeção do ponto P''(x,y,0) no eixo-x produz o ponto Px(x,0,0) que possue apenas a coordenada-x.
- A projeção do ponto P(x,y,z) no plano-zx produz o ponto P'''(x,0,z). A projeção do ponto P'''(x,0,z) no eixo-z produz o ponto Py(0,0,z) que possue apenas a coordenada-z e a projeção do ponto P'''(x,0,z) no eixo-x produz o ponto Px(x,0,0) que possue apenas a coordenada-x.

Com base na figura acima podemos dizer que:
Cada ponto no espaço possue três pontos de projeção, uma em cada plano do sistema de coordenadas tri-dimensional. Cada ponto de projeção no plano possue duas coordenadas que são as coordenadas do próprio ponto no espaço.
Um ponto no espaço formará um paralelepipedo reto cuja diagonal é o seguimento de reta da origem do sistema de coordenadas ao próprio ponto. Os lados do paralelepipedo reto serão formados:1) Pelos seguimentos de reta entre o ponto e sua projeção no plano; 2) Pelos seguimentos de reta entre os pontos projetados e suas projeções nos respectivos eixos de projeção; e 3) Pelos seguimentos de reta entre a origem do sitema de coordenadas e o ponto projetado sobre o respectivo eixo.

2. Projeção de um Segmento de Reta Orientado
A reta orientada no espaço precisa de um ponto de origem e um ponto de extremidade para identificá-la. O segmento de reta orientado positivamente é indicado pela subtração do ponto extremidade menos o ponto de origem. A orientação é no sentido do ponto de origem para o ponto extremidade. O sentido positivo é o indicado pelo sistema de coordenadas de referência.
Um segmento de reta no espaço possue uma projeção em cada plano de projeção ortogonal. A projeção de um ponto é sempre um ponto. A projeção de uma reta é um reta ou um ponto (reta perpendicular ao plano de projeção).

Quaisquer dois pontos de uma reta no espaço formará a diagonal de um paralelepípedo ou a diagonal de um retângulo cuja as faces são paralelas aos planos de projeções.
Um seguimento de reta pode ser a diagonal de qualquer paralelepipedo que escolhermos no espaço, é conveniente que tal paralelepipeto tenha as faces paralelas aos planos de projeções, pois assim equivale a um sistema de coordenadas auxiliares. A projeção na face do paralelepipedo é identica a do plano de projeção paralelo a mesma.

Vejamos a figura abaixo:

Projeções de P1 e P2:
Plano-zy
Plano-yx
Plano-zx
P1'(0,y1',z1')
P2'(0,y2',z2')
P1''(x1'',y1'',0)
P2''(x2'',y2'',0)
P1'''(x1''',0,y1''')
P2'''(x2''',0,y2''')

Repare na figura abaixo que apenas os pontos P'(0,y,z) e P"(x,y,0) são suficientes para determinar o ponto P(x,y,z), porém, utiliza o sitemas de três eixos.

O sistema de coordenadas auxiliares eixos-x'y'z' tem o ponto mais próximo a origem do sitema de coordenadas de referência (eixos-xyz) como origem de seu sistema de coordenadas, no caso é o ponto P1. Se considerarmos dessa forma, é mais fácil fazer as projeções no sistema auxiliar que possue seus planos paralelos ao sistema de referência, ou seja, as projeções serão as mesmas, embora cada uma no seu sistema de projeção.

2.1. Distância entre Dois Pontos Quaisquer

Seja P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2), a fórmula é a mesma para da figura anterior, tal que:
x=(x2-x1), y=(y2-y1) e z=(z2-z1)

2.2. Razão entre Segmentos no Espaço
Utilizando o Teorema de Tales:
Se duas retas são transversais a um conjunto de três ou mais retas paralelas, então a razão entre os comprimentos de dois segmentos quaisquer determinados sobre uma delas é igual a uma razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a outra.Podemos combinar vários tamanhos de segmentos correspondentes formando assim várias proporções diferentes.

Se P é ponto médio entre P1e P2 => r=1

Quaisquer dois pontos de uma reta formará a diagonal de um paralelepípedo ou a diagonal de um retângulo cuja faces são paralelas aos planos de projeções.



Um ponto no espaço formará uma pirâmide cuja lados serão formados: 1) Pelos seguimentos de reta entre o ponto e sua projeção no plano; 2) Pelos seguimentos de reta entre os pontos projetados e suas projeções nos respectivos eixos de projeção; e 3) Pelos seguimentos de reta entre a origem do sitema de coordenadas e o ponto sobre o eixo.

pelas linhas de cotações  de cada ponto projetado e os seguimentos de reta formados pelas coordenadas de cada projeção no  formam um paraleleppedo reto (fases paralelas) com uma fase contida e outra paralela a cada plano de projeção.

Coordenada Esferica
Reta Orientada no Espaço (ou ponto orientado)
Como já estudado em geometria II os conceitos de ângulo e reta são interdependentes.
O ponto P1(x1,y1,z1) e o ponto P2(x2,y2,z2) identificam uma reta orientada no espaço pelo sistema cartesiano de três dimensões. O sistema de coordenadas esférico utiliza os mesmos três eixos, a distância entre dois ponto (chamado de raio) e três angulos diretores α, β e γ.
Como já foi estudado d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)². Com um ponto origem, dois ângulos diretores e a distância entre os dois pontos podemos identificar o ponto extremo. Essa técnica facilita o desenho de curvas em três dimensões. Com o ponto P1 fixo, a distância d, chamada raio e dois ângulo diretores identificaremos o ponto extremo P2. O conceito é o mesmo de vetor formado por dois pontos. A orientação da reta é o seu sentido positivo. O vetor V=(P2-P1) tem o mesmo sentido e direção da reta r.

Para que a reta existe d > 0.
O sistema de coordenadas esférica complementa o sistema ortogonal em três dimensões, calcular e posicionar os ângulos diretores não é apropriado com régua e esquadro.
Dois ângulos diretores e o ponto de origem são suficiente para determinar o ponto extremo.

Parâmetros Diretores


Duas Retas Paralelas
Duas retas paralelas produz projeções paralelas nos respectivos planos.




Ângulo entre Duas Retas no Espaço

Utilizaremos o conceito de seguimento de retas proporcionais. Dois pontos pertencentes a uma reta com a mesma distância que dois pontos pertencente a uma reta paralela a ela são proporcionais